Optimalizace — MATLAB Optimization Toolbox

Zdroj: raw/ipmrk/optimalizace-online.md (ověřeno z MathWorks docs, cs.wikipedia.org, VUT FEEC, APMonitor).

Hlavní přínos zdroje

Kompletní syntaxe všech klíčových MATLAB solverů s příklady. Doplňuje knihu, která zmiňovala MATLAB příkazy, ale bez detailů. Podloženo přímou dokumentací MathWorks.

Základy optimalizace

Tři složky každé úlohy:

Stavové proměnné — co měníme (x₁, x₂, ..., xₙ)
Účelová funkce f(x) — co minimalizujeme/maximalizujeme
Omezující podmínky — rovnice/nerovnice definující přípustnou množinu M

Typy omezení v MATLABu:

A·x ≤ b — lineární nerovnostní
Aeq·x = beq — lineární rovnostní
c(x) ≤ 0 — nelineární nerovnostní
ceq(x) = 0 — nelineární rovnostní
lb ≤ x ≤ ub — meze proměnných

MATLAB solvery — přehled

Solver	Typ problému	Klíčová syntaxe
`fmincon`	NLP s omezeními	`fmincon(fun, x0, A, b, Aeq, beq, lb, ub, nonlcon, options)`
`fminsearch`	NLP bez omezení (Nelder-Mead)	`fminsearch(fun, x0, options)`
`linprog`	LP	`linprog(f, A, b, Aeq, beq, lb, ub)`
`intlinprog`	MILP	`intlinprog(f, intcon, A, b, Aeq, beq, lb, ub)`
`ga`	Globální, diskrétní	`ga(fun, nvars, A, b, Aeq, beq, lb, ub, nonlcon, intcon, options)`

Klíčové poznatky

Maximalizace = negace: max f(x) → min −f(x), pro linprog negovat vektor f
Nepotřebná omezení zadávat jako []
x0 ovlivňuje které lokální minimum fmincon/fminsearch najde
Nelineární omezení musí vracet [c, ceq] — nerovnosti (c≤0) a rovnosti (ceq=0)
ga je pomalejší, ale nepotřebuje gradient a hledá globální optimum

Algoritmy fmincon

Algoritmus	Kdy použít
`'interior-point'`	Výchozí, velké problémy
`'sqp'`	Dobrá volba pro většinu problémů
`'active-set'`	Nehladká omezení
`'trust-region-reflective'`	Pouze meze nebo lineární rovnosti

optimoptions — klíčové parametry

options = optimoptions('fmincon', ...
    'Algorithm',              'sqp', ...
    'MaxIterations',          1000, ...
    'MaxFunctionEvaluations', 3000, ...
    'OptimalityTolerance',    1e-8, ...   % (dříve TolFun)
    'StepTolerance',          1e-8);      % (dříve TolX)

Poznámka: fminsearch používá optimset (starší API), ostatní optimoptions.

Praktické příklady

Zdrojový soubor obsahuje kompletní MATLAB kód pro:

Minimalizaci výrobních nákladů (fmincon s lin. omezeními)
Maximalizaci zisku přes linprog (negace)
Benchmark úlohu s nelineárními omezeními (4 proměnné)
ga pro multimodální funkci (Rastriginova)
MultiStart pro systematické prohledávání více startovních bodů