Elasticita poptávky a nabídky

Úvod — motivace

Termín elasticita (alternativně pružnost) patří ke klíčovým pojmům ekonomické teorie. Slouží ke kvantifikaci citlivosti (míry) odezvy jisté veličiny na změnu veličiny jiné. Bezprostředně nás zajímá citlivost množství (poptávaného či nabízeného) na změnu ceny zboží, což vede k pojmům cenové elasticity poptávky (resp. nabídky). Matematickým modelem míry citlivosti je elasticita funkce (viz Derivace).

Srovnání Trh 1 vs Trh 2

Uvažujme dvě různá tržní prostředí. Zboží má na obou trzích stejnou cenu $P=10$ a při této ceně se prodá $Q=100$ jednotek. Prodejce sníží cenu z 10 na 9:

Trh 1 zareaguje zvýšením množství na 110 $\;\Rightarrow\; TR = 9\cdot 110 = 990$ (pokles z 1000).
Trh 2 zareaguje zvýšením množství na 120 $\;\Rightarrow\; TR = 9\cdot 120 = 1080$ (růst z 1000).

Závěr: snížení ceny bylo na Trhu 1 nerozumné, na Trhu 2 rozumné. Trh 2 je relativně citlivý na změnu ceny — říkáme, že poptávka je elastická a snížení ceny je „překompenzováno" zvýšením poptávaného množství. Na Trhu 1 je poptávka neelastická a vyššího $TR$ lze naopak dosáhnout zvýšením ceny.

Hypotéza 4.1

Aby nedošlo k poklesu celkového příjmu, musí být procentní růst poptávaného množství alespoň takový, jaký je procentní pokles jeho ceny. $(4.1)$

Rozhodující nejsou nominální změny (jsou měřeny v různých jednotkách), nýbrž procentní změny obou faktorů.

Pojem elasticity

Obecně elasticita jedné veličiny vzhledem k druhé kvantifikuje, o kolik procent se první veličina přibližně změní, když se druhá veličina změní o 1 %. Jde o bezrozměrnou veličinu — nezávislou na jednotkách, ve kterých jsou proměnné měřeny.

Cenová elasticita poptávky — jednofaktorový model

Nechť $Q = D(P)$ je funkce poptávky (ceteris paribus). Zkoumáme podíl procentních změn

E^A = -\frac{\Delta Q\%}{\Delta P\%}. \tag{4.2}

Znaménko minus je korekce: změny $\Delta Q$ a $\Delta P$ mají vždy opačná znaménka, takže bez korekce by $E^A$ bylo záporné; pro pohodlí pracujeme s nezápornými hodnotami. Pro procentní změny platí

\Delta Q\% = \frac{\Delta Q}{Q}\cdot 100, \qquad \Delta P\% = \frac{\Delta P}{P}\cdot 100. \tag{4.3}

Po dosazení:

E^A = -\frac{\frac{\Delta Q}{Q}}{\frac{\Delta P}{P}} = -\frac{P}{Q}\cdot \frac{\Delta Q}{\Delta P}. \tag{4.4}

Limitním přechodem $\Delta P \to 0$ získáme definici cenové elasticity poptávky (price elasticity of demand):

\boxed{\;E = E(P) = -\frac{P}{Q}\cdot \frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}P} = -\frac{P}{Q}\,Q'(P)\;} \tag{4.5}

kde $Q = D(P)$ . Pro pevnou cenu $P = P^*$ se $E(P^*)$ nazývá elasticita poptávky při ceně $P^*$ a je to vždy nezáporné číslo.

Interpretace (4.6)

Číslo $E(P^*)$ udává, o kolik % se přibližně změní poptávané množství $Q$ , jestliže se cena $P^*$ změní o 1 %. $(4.6)$

Historicky: úvahy vedoucí k hypotéze (4.1) formuloval již Cournot (1838), dnešní vymezení se připisuje Marshallovi (1881).

Příklad 4.1

Poptávka $P = D(Q) = 50 - 2Q$ . Vyjádříme $Q = 25 - 0{,}5P$ , $\dfrac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}P} = -0{,}5$ :

E = -\frac{P}{25-0{,}5P}\cdot(-0{,}5) = \frac{0{,}5P}{25-0{,}5P}.

Potom $E(0)=0$ , $E(10)=\tfrac{1}{4}$ , $E(25)=1$ , $E(40)=4$ . Např. $E(40)=4$ znamená, že zvýšení ceny o 1 % (z 40 na 40,4) způsobí pokles množství o 4 % (z $Q=5$ na $Q=4{,}8$ ).

Oblouková (průměrná) vs. bodová (okamžitá) elasticita

Oblouková (průměrná) elasticita: výraz $E^A$ ze (4.4) vztažený k intervalu $\langle P,\, P+\Delta P\rangle$ .
Bodová (okamžitá) elasticita: $E$ dle (4.5) — výchozí pojem dále v textu.

Výpočet, je-li dáno $P$ jako funkce $Q$

Pokud je poptávka zadaná ve tvaru $P = D(Q)$ , využijeme vztah pro derivaci inverzní funkce

\frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}P} = \frac{1}{\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}Q}}. \tag{4.9}

Příklad 4.3. $P = 100 - Q^2$ , ptáme se na elasticitu při ceně 36. Dostáváme

E = -\frac{100-Q^2}{Q}\cdot \frac{1}{-2Q} = \frac{100-Q^2}{2Q^2}.

Z rovnice $100 - Q^2 = 36$ plyne $Q = 8$ , tedy $E(8) = \tfrac{36}{128} = 0{,}281$ .

Přibližné změny

Diferenciál $\mathrm{d}Q = Q'(P)\,\mathrm{d}P$ s $\mathrm{d}P = \Delta P$ dává nominální odhad

\Delta Q \approx \mathrm{d}Q = Q'(P)\,\mathrm{d}P. \tag{4.10}

Po přechodu na procentní změny (vztah (4.3)):

\boxed{\;\Delta Q\% \approx -E(P)\,\Delta P\%\;} \tag{4.11}

Příklad 4.5. $P = -Q^2 - 4Q + 96$ , cena $P=51$ . Z rovnice $51 = -Q^2-4Q+96$ volíme (kladný kořen) $Q=5$ . Elasticita:

E = \frac{-Q^2-4Q+96}{Q(2Q+4)}, \qquad E(5) = \frac{51}{70} \doteq 0{,}728.

Jde o neelastickou poptávku. Zvýší-li se cena o 2 %, pak $\Delta Q\% \approx -0{,}728\cdot 2 = -1{,}456\,\%$ .

Klasifikace elasticit poptávky

V závislosti na hodnotě $E(P^*)$ mluvíme o poptávce podle následující tabulky $(4.7)$ :

imek-typy-elasticity-5panelu

Hodnota $E(P^*)$	Typ poptávky	Termín	Význam
$E = 0$	dokonale neelastická	perfectly inelastic	množství se nemění bez ohledu na cenu
$0 < E < 1$	neelastická	inelastic	$Q$ se mění pomaleji než $P$
$E = 1$	jednotkově elastická	unit elastic	$Q$ i $P$ se mění stejně rychle; $TR$ má maximum
$E > 1$	elastická	elastic	$Q$ se mění rychleji než $P$
$E \to \infty$	dokonale elastická	perfectly elastic	sebemenší změna ceny úplně mění $Q$

Pravidlo růstu elasticity s cenou:

S rostoucí cenou elasticita poptávky roste. $(4.8)$

Z toho plyne, že při dostatečně nízkých cenách je poptávka neelastická a při dostatečně vysokých elastická. Existuje tedy cena $P^*$ , při které je poptávka jednotkově elastická, a ta rozděluje reálné cenové rozpětí na obě zóny.

Příklad 4.2. Pro poptávku z Příkladu 4.1: $E = 1$ pro $P = 25$ . Podle (4.8) je poptávka neelastická pro $P \in \langle 0, 25)$ a elastická pro $P \in (25, 50\rangle$ .

Elasticita a celkový příjem

imek-elasticita-tr

imek-elasticita-podel-linearni-poptavky

Pro celkový příjem platí $TR = TR(Q) = P\cdot Q = Q\cdot D(Q)$ . Pro mezní příjem $MR$ odvodíme:

MR = TR'(Q) = D(Q) + Q\,D'(Q) = P + Q\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}Q} = P\left(1 + \frac{Q}{P}\cdot\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}Q}\right)

= P\left(1 + \frac{1}{\tfrac{P}{Q}\cdot\tfrac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}P}}\right) = P\left(1 + \frac{1}{-E}\right)

a tedy

\boxed{\;MR = P\left(1 - \frac{1}{E}\right) = D(Q)\left(1 - \frac{1}{E}\right)\;} \tag{4.12}

Pravidla 1–3 (odvození z (4.12))

(a) Poptávka elastická ( $E > 1$ ). Z (4.12) plyne $MR(Q) > 0$ , a tedy celkový příjem $TR$ je rostoucí funkcí $Q$ . Avšak růst $Q$ je odezvou na pokles ceny $P$ . Tudíž s poklesem ceny $P$ celkový příjem $TR$ roste a s růstem ceny $P$ celkový příjem klesá.

Pravidlo 1. Je-li poptávka elastická, pak s poklesem ceny celkový příjem roste a s růstem ceny celkový příjem klesá.

(b) Poptávka neelastická ( $E < 1$ ). Z (4.12) plyne $MR(Q) < 0$ , $TR$ je klesající funkce $Q$ , tj. s růstem $Q$ (s poklesem ceny $P$ ) celkový příjem klesá. S růstem ceny $P$ celkový příjem $TR$ roste.

Pravidlo 2. Je-li poptávka neelastická, pak s poklesem ceny celkový příjem klesá a s růstem ceny celkový příjem roste.

(c) Jednotková elasticita ( $E = 1$ ). Z (4.12) plyne $MR = 0$ — nutná podmínka extrému $TR$ . Dále $TR'' = MR' = D'(Q) + Q\,D''(Q)$ ; za normálních podmínek $D'(Q) < 0$ a $D''(Q) \le 0$ , odkud $TR'' < 0$ , tedy $TR$ nabývá maxima.

Pravidlo 3. Celkový příjem nabývá maxima při ceně, pro kterou je poptávka jednotkově elastická.

Tato tři pravidla potvrzují hypotézu (4.1) a jsou klíčem k regulaci ceny za účelem zvýšení (maximalizace) celkového příjmu.

Souhrnná tabulka Pravidel 1–3:

Charakter poptávky	$E$	$MR$	Pokles ceny $\Rightarrow$ $TR$	Růst ceny $\Rightarrow$ $TR$	Doporučení
elastická	$> 1$	$> 0$	roste	klesá	snížit cenu
jednotková	$= 1$	$= 0$	maximum	maximum	držet cenu
neelastická	$< 1$	$< 0$	klesá	roste	zvýšit cenu

Příklad 4.6 — aplikace Pravidel 1–3

Aplikujme pravidla 1–3 pro poptávku $P = 100 - Q^2$ . Reálné cenové rozpětí je $\langle 1, 100\rangle$ . Pro výpočet elasticity vyjádříme $Q$ jako funkci $P$ ; pro nezáporné $Q$ je $Q = \sqrt{100 - P}$ , tedy $\dfrac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}P} = -\dfrac{1}{2\sqrt{100-P}}$ . Podle (4.5):

E(P) = -\frac{P}{Q}\cdot\frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}P} = -\frac{P}{\sqrt{100-P}}\cdot\left(-\frac{1}{2\sqrt{100-P}}\right) = \frac{P}{2(100-P)} = \frac{0{,}5P}{100-P}.

Stanovíme cenu, při které je poptávka jednotkově elastická. Řešíme $\dfrac{0{,}5P}{100-P} = 1$ :

P^* = \frac{200}{3} \doteq 66{,}\overline{6}.

S využitím vlastnosti (4.8):

Při cenách $P \in \langle 1;\, 66{,}\overline{6})$ je poptávka neelastická — dle Pravidla 2 přiměřené zvýšení ceny zvýší celkový příjem.
Při cenách $P \in (66{,}\overline{6};\, 100\rangle$ je poptávka elastická — dle Pravidla 1 přiměřené snížení ceny povede ke zvýšení celkového příjmu.
Dle Pravidla 3 je při ceně $P^* = 66{,}\overline{6}$ dosaženo maxima celkového příjmu ve výši

TR(P^*) = P^*\cdot\sqrt{100 - P^*} = \frac{200}{3}\cdot\sqrt{\frac{100}{3}} = \frac{2000}{3\sqrt{3}} \doteq 384{,}9.

Ke stejnému výsledku bychom dospěli přímým hledáním maxima funkce $TR$ .

Cenová elasticita nabídky

Analogicky se definuje cenová elasticita nabídky (price elasticity of supply):

\boxed{\;E = E(P) = \frac{P}{Q}\cdot\frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}P}\;} \tag{4.13}

kde $Q = S(P)$ je funkce nabídky. Protože nabídka je rostoucí, $\dfrac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}P} > 0$ , a elasticita nabídky je vždy nezáporná — proto zde není znaménková korekce jako u poptávky.

Klasifikace na elastickou / jednotkově elastickou / neelastickou je analogická jako u poptávky (tabulka (4.7)). Platí paralela k (4.8):

S rostoucí cenou elasticita nabídky roste. $(4.14)$

Pro nominální změny platí

\Delta Q \approx \mathrm{d}Q = Q'(P)\,\mathrm{d}P, \qquad \mathrm{d}P = \Delta P, \tag{4.15}

a pro procentní změny

\boxed{\;\Delta Q\% \approx E(P)\,\Delta P\%\;} \tag{4.16}

(bez znaménka minus).

Příklad 4.7

Nabídka $Q = 0{,}1P^2 + 5P + 150$ :

E = \frac{P}{0{,}1P^2 + 5P + 150}\,(0{,}2P + 5).

Potom $E(10) = \tfrac{1}{3}$ , $E(\sqrt{1500}) = 1$ , $E(100) = \tfrac{50}{33} \doteq 1{,}515$ . Dle (4.14): pro $P > \sqrt{1500} \approx 38{,}7$ je nabídka elastická, pro $P < 38{,}7$ neelastická. Zvýší-li se cena z 10 o 20 %, pak $\Delta Q\% \approx \tfrac{1}{3}\cdot 20 = 6{,}\overline{6}\,\%$ .

Vícefaktorový model

Předpokládejme, že poptávané množství $Q$ závisí na ceně základního zboží $P$ , na ceně alternativního zboží $P_A$ a na důchodu $Y$ :

Q = D(P, P_A, Y). \tag{4.17}

V analogii jednofaktorového modelu pracujeme s parciálními derivacemi funkce poptávky.

Cenová elasticita poptávky (vícefaktorová)

\boxed{\;E_P = -\frac{P}{Q}\,Q'_P\;} \tag{4.18}

kde $Q'_P$ je parciální derivace (4.17) podle $P$ . Vždy $E_P \ge 0$ . Interpretace: $E_P(P^*, P_A^*, Y^*)$ udává přibližnou procentní změnu $Q$ při 1% změně $P^*$ , ceteris paribus.

Křížová (křížově-cenová) elasticita poptávky

\boxed{\;E_{P_A} = \frac{P_A}{Q}\,Q'_{P_A}\;} \tag{4.19}

Interpretace: udává přibližnou procentní změnu $Q$ základního zboží při 1% změně ceny $P_A$ alternativního zboží (ceteris paribus).

Znaménko závisí na povaze alternativního zboží:

Je-li alternativní zboží komplement, růst $P_A$ způsobí zdražení dvojice, pokles $Q$ $\Rightarrow\; Q'_{P_A} < 0,\; E_{P_A} < 0$ .
Je-li alternativní zboží substitut, růst $P_A$ učiní základní zboží relativně levnější, zájem se přesune, $Q$ roste $\Rightarrow\; Q'_{P_A} > 0,\; E_{P_A} > 0$ .

undefined

\boxed{;E_Y = \frac{Y}{Q},Q'_Y;} \tag{4.20}

undefined

\Delta Q% \approx -E_P,\Delta P%, \qquad \Delta Q% \approx E_,\Delta P_A%, \qquad \Delta Q% \approx E_Y,\Delta Y%. \tag{4.21}

Pro nominální odhady při současné změně všech proměnných (totální diferenciál):

\boxed{;\Delta Q \approx \mathrm{d}Q = Q'P,\mathrm{d}P + Q',\mathrm{d}P_A + Q'_Y,\mathrm{d}Y;} \tag{4.22}

undefined

\Delta Q \approx (-3)\cdot 5 + (-2)\cdot(-3) + 0{,}01\cdot 100 = -15 + 6 + 1 = -8.

undefined