Elasticita poptávky a nabídky

!abstract TL;DR Elasticita je bezrozměrná míra toho, o kolik procent přibližně zareaguje jedna veličina na jednoprocentní změnu veličiny jiné. Studujeme ji proto, abychom mohli kvantitativně rozhodovat o cenové politice (kdy cenu snížit, kdy zvýšit) a charakterizovat povahu zboží. V kapitole rozlišujeme tři typy: cenovou elasticitu poptávky (a nabídky), křížově-cenovou elasticitu a důchodovou elasticitu.

Úvod — motivace

Termín elasticita (alternativně pružnost) patří ke klíčovým pojmům ekonomické teorie. Slouží ke kvantifikaci citlivosti (míry) odezvy jisté veličiny na změnu veličiny jiné. Bezprostředně nás zajímá citlivost množství (poptávaného či nabízeného) na změnu ceny zboží, což vede k pojmům cenové elasticity poptávky (resp. nabídky). Matematickým modelem míry citlivosti je elasticita funkce (viz Derivace).

Srovnání Trh 1 vs Trh 2

Uvažujme dvě různá tržní prostředí. Zboží má na obou trzích stejnou cenu $P=10$ a při této ceně se prodá $Q=100$ jednotek. Prodejce sníží cenu z 10 na 9:

• Trh 1 zareaguje zvýšením množství na 110 $\;\Rightarrow\; TR = 9\cdot 110 = 990$ (pokles z 1000).
• Trh 2 zareaguje zvýšením množství na 120 $\;\Rightarrow\; TR = 9\cdot 120 = 1080$ (růst z 1000).

Závěr: snížení ceny bylo na Trhu 1 nerozumné, na Trhu 2 rozumné. Trh 2 je relativně citlivý na změnu ceny — říkáme, že poptávka je elastická a snížení ceny je „překompenzováno" zvýšením poptávaného množství. Na Trhu 1 je poptávka neelastická a vyššího $TR$ lze naopak dosáhnout zvýšením ceny.

Hypotéza 4.1

Aby nedošlo k poklesu celkového příjmu, musí být procentní růst poptávaného množství alespoň takový, jaký je procentní pokles jeho ceny. $(4.1)$

Rozhodující nejsou nominální změny (jsou měřeny v různých jednotkách), nýbrž procentní změny obou faktorů.

Pojem elasticity

Obecně elasticita jedné veličiny vzhledem k druhé kvantifikuje, o kolik procent se první veličina přibližně změní, když se druhá veličina změní o 1 %. Jde o bezrozměrnou veličinu — nezávislou na jednotkách, ve kterých jsou proměnné měřeny (viz čl. 1.5.1).

!info Intuice Elasticitu lze číst jako procentní odpověď na procentní podnět. Místo „o kolik kusů se změní prodej, když zlevním o korunu" (což závisí na jednotkách) se ptáme „o kolik procent se změní prodej, když zlevním o 1 %". Tato procentní citlivost je univerzální a umožňuje srovnávat zboží různých řádů i měn.

Cenová elasticita poptávky — jednofaktorový model

Nechť $Q = D(P)$ je funkce poptávky (ceteris paribus). Zkoumáme podíl procentních změn

E^A = -\frac{\Delta Q\%}{\Delta P\%}. \tag{4.2}

Znaménko minus je korekce: změny $\Delta Q$ a $\Delta P$ mají vždy opačná znaménka, takže bez korekce by $E^A$ bylo záporné; pro pohodlí pracujeme s nezápornými hodnotami. Pro procentní změny platí

\Delta Q\% = \frac{\Delta Q}{Q}\cdot 100, \qquad \Delta P\% = \frac{\Delta P}{P}\cdot 100. \tag{4.3}

Po dosazení:

E^A = -\frac{\frac{\Delta Q}{Q}}{\frac{\Delta P}{P}} = -\frac{P}{Q}\cdot \frac{\Delta Q}{\Delta P}. \tag{4.4}

Limitním přechodem $\Delta P \to 0$ získáme definici cenové elasticity poptávky (price elasticity of demand):

\boxed{\;E = E(P) = -\frac{P}{Q}\cdot \frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}P} = -\frac{P}{Q}\,Q'(P)\;} \tag{4.5}

kde $Q = D(P)$. Pro pevnou cenu $P = P^*$ se $E(P^*)$ nazývá elasticita poptávky při ceně $P^*$ a je to vždy nezáporné číslo.

!warning Pozor na znaménko V (4.5) je explicitní $-1$ právě proto, že $Q'(P) < 0$ (poptávka klesá s cenou). Díky korekčnímu znaménku je výsledné $E(P^*) \ge 0$ a s touto nezápornou konvencí pracuje celá klasifikace $E > 1$, $E < 1$, $E = 1$. V některých starších pramenech se $-1$ vynechává a uvádějí se záporné hodnoty; obsah pojmu se tím nemění, ale srovnávat hodnoty napříč zdroji je třeba opatrně. Pokud narazíte na zápornou hodnotu, pracujte s absolutní hodnotou.

!tip Postup: jak spočítat $E$ v bodě

1. Zapište $Q = D(P)$. Pokud je poptávka zadaná jako $P = D(Q)$, použijte vztah (4.9).
2. Spočítejte derivaci $Q'(P) = \mathrm{d}Q/\mathrm{d}P$.
3. Dosaďte zadanou cenu $P^*$ a dopočítejte odpovídající $Q^* = D(P^*)$.
4. Dosaďte do (4.5): $E(P^*) = -\dfrac{P^*}{Q^*}\,Q'(P^*)$.
5. Klasifikujte: $E > 1$ elastická, $E = 1$ jednotková, $E < 1$ neelastická.

Interpretace (4.6)

Číslo $E(P^*)$ udává, o kolik % se přibližně změní poptávané množství $Q$, jestliže se cena $P^*$ změní o 1 %. $(4.6)$

Historicky: úvahy vedoucí k hypotéze (4.1) formuloval již Cournot (1838), dnešní vymezení se připisuje Marshallovi (1881).

Příklad 4.1

Poptávka $P = D(Q) = 50 - 2Q$. Vyjádříme $Q = 25 - 0{,}5P$, $\dfrac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}P} = -0{,}5$:

$E = -\frac{P}{25-0{,}5P}\cdot(-0{,}5) = \frac{0{,}5P}{25-0{,}5P}.$

Potom $E(0)=0$, $E(10)=\tfrac{1}{4}$, $E(25)=1$, $E(40)=4$. Např. $E(40)=4$ znamená, že zvýšení ceny o 1 % (z 40 na 40,4) způsobí pokles množství o 4 % (z $Q=5$ na $Q=4{,}8$).

Oblouková (průměrná) vs. bodová (okamžitá) elasticita

• Oblouková (průměrná) elasticita: výraz $E^A$ ze (4.4) vztažený k intervalu $\langle P,\, P+\Delta P\rangle$.
• Bodová (okamžitá) elasticita: $E$ dle (4.5) — výchozí pojem dále v textu.

Výpočet, je-li dáno $P$ jako funkce $Q$

Pokud je poptávka zadaná ve tvaru $P = D(Q)$, využijeme vztah pro derivaci inverzní funkce

\frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}P} = \frac{1}{\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}Q}}. \tag{4.9}

Příklad 4.3. $P = 100 - Q^2$, ptáme se na elasticitu při ceně 36. Dostáváme

$E = -\frac{100-Q^2}{Q}\cdot \frac{1}{-2Q} = \frac{100-Q^2}{2Q^2}.$

Z rovnice $100 - Q^2 = 36$ plyne $Q = 8$, tedy $E(8) = \tfrac{36}{128} = 0{,}281$.

Přibližné změny

Diferenciál $\mathrm{d}Q = Q'(P)\,\mathrm{d}P$ s $\mathrm{d}P = \Delta P$ dává nominální odhad

\Delta Q \approx \mathrm{d}Q = Q'(P)\,\mathrm{d}P. \tag{4.10}

Po přechodu na procentní změny (vztah (4.3)):

\boxed{\;\Delta Q\% \approx -E(P)\,\Delta P\%\;} \tag{4.11}

Příklad 4.5. $P = -Q^2 - 4Q + 96$, cena $P=51$. Z rovnice $51 = -Q^2-4Q+96$ volíme (kladný kořen) $Q=5$. Elasticita:

$E = \frac{-Q^2-4Q+96}{Q(2Q+4)}, \qquad E(5) = \frac{51}{70} \doteq 0{,}728.$

Jde o neelastickou poptávku. Zvýší-li se cena o 2 %, pak $\Delta Q\% \approx -0{,}728\cdot 2 = -1{,}456\,\%$.

Klasifikace elasticit poptávky

V závislosti na hodnotě $E(P^*)$ mluvíme o poptávce podle následující tabulky $(4.7)$:

Pravidlo růstu elasticity s cenou:

S rostoucí cenou elasticita poptávky roste. $(4.8)$

Z toho plyne, že při dostatečně nízkých cenách je poptávka neelastická a při dostatečně vysokých elastická. Existuje tedy cena $P^*$, při které je poptávka jednotkově elastická, a ta rozděluje reálné cenové rozpětí na obě zóny.

!tip Postup: jak klasifikovat poptávku

1. Spočítejte $E(P^*)$ dle (4.5).
2. Porovnejte s jedničkou (viz tabulka výše).
3. Chcete-li najít hranici mezi elastickou a neelastickou zónou, řešte rovnici $E(P) = 1$ a výsledek porovnejte s reálným cenovým rozpětím.

Příklad 4.2. Pro poptávku z Příkladu 4.1: $E = 1$ pro $P = 25$. Podle (4.8) je poptávka neelastická pro $P \in \langle 0, 25)$ a elastická pro $P \in (25, 50\rangle$.

Elasticita a celkový příjem

Pro celkový příjem platí $TR = TR(Q) = P\cdot Q = Q\cdot D(Q)$. Pro mezní příjem $MR$ odvodíme:

$MR = TR'(Q) = D(Q) + Q\,D'(Q) = P + Q\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}Q} = P\left(1 + \frac{Q}{P}\cdot\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}Q}\right)$

$= P\left(1 + \frac{1}{\tfrac{P}{Q}\cdot\tfrac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}P}}\right) = P\left(1 + \frac{1}{-E}\right)$

a tedy

\boxed{\;MR = P\left(1 - \frac{1}{E}\right) = D(Q)\left(1 - \frac{1}{E}\right)\;} \tag{4.12}

!info Intuice: vztah $MR = P(1 - 1/E)$ Vztah (4.12) je „most" mezi elasticitou a mezním příjmem — znaménko $MR$ jednoznačně určuje hodnota $E$:

• $E > 1$ (elastická) $\Rightarrow$ $1 - 1/E > 0$ $\Rightarrow$ $MR > 0$ — $TR$ roste s množstvím, tj. klesá s cenou.
• $E = 1$ (jednotková) $\Rightarrow$ $MR = 0$ — $TR$ je extrém (maximum).
• $E < 1$ (neelastická) $\Rightarrow$ $MR < 0$ — $TR$ klesá s množstvím, tj. roste s cenou.

Viz také Příjem, náklady, zisk.

Pravidla 1–3 (odvození z (4.12))

(a) Poptávka elastická ($E > 1$). Z (4.12) plyne $MR(Q) > 0$, a tedy celkový příjem $TR$ je rostoucí funkcí $Q$. Avšak růst $Q$ je odezvou na pokles ceny $P$. Tudíž s poklesem ceny $P$ celkový příjem $TR$ roste a s růstem ceny $P$ celkový příjem klesá.

Pravidlo 1. Je-li poptávka elastická, pak s poklesem ceny celkový příjem roste a s růstem ceny celkový příjem klesá.

(b) Poptávka neelastická ($E < 1$). Z (4.12) plyne $MR(Q) < 0$, $TR$ je klesající funkce $Q$, tj. s růstem $Q$ (s poklesem ceny $P$) celkový příjem klesá. S růstem ceny $P$ celkový příjem $TR$ roste.

Pravidlo 2. Je-li poptávka neelastická, pak s poklesem ceny celkový příjem klesá a s růstem ceny celkový příjem roste.

(c) Jednotková elasticita ($E = 1$). Z (4.12) plyne $MR = 0$ — nutná podmínka extrému $TR$. Dále $TR'' = MR' = D'(Q) + Q\,D''(Q)$; za normálních podmínek $D'(Q) < 0$ a $D''(Q) \le 0$, odkud $TR'' < 0$, tedy $TR$ nabývá maxima.

Pravidlo 3. Celkový příjem nabývá maxima při ceně, pro kterou je poptávka jednotkově elastická.

Tato tři pravidla potvrzují hypotézu (4.1) a jsou klíčem k regulaci ceny za účelem zvýšení (maximalizace) celkového příjmu.

Souhrnná tabulka Pravidel 1–3:

Příklad 4.6 — aplikace Pravidel 1–3

Aplikujme pravidla 1–3 pro poptávku $P = 100 - Q^2$. Reálné cenové rozpětí je $\langle 1, 100\rangle$. Pro výpočet elasticity vyjádříme $Q$ jako funkci $P$; pro nezáporné $Q$ je $Q = \sqrt{100 - P}$, tedy $\dfrac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}P} = -\dfrac{1}{2\sqrt{100-P}}$. Podle (4.5):

$E(P) = -\frac{P}{Q}\cdot\frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}P} = -\frac{P}{\sqrt{100-P}}\cdot\left(-\frac{1}{2\sqrt{100-P}}\right) = \frac{P}{2(100-P)} = \frac{0{,}5P}{100-P}.$

Stanovíme cenu, při které je poptávka jednotkově elastická. Řešíme $\dfrac{0{,}5P}{100-P} = 1$:

$P^* = \frac{200}{3} \doteq 66{,}\overline{6}.$

S využitím vlastnosti (4.8):

• Při cenách $P \in \langle 1;\, 66{,}\overline{6})$ je poptávka neelastická — dle Pravidla 2 přiměřené zvýšení ceny zvýší celkový příjem.
• Při cenách $P \in (66{,}\overline{6};\, 100\rangle$ je poptávka elastická — dle Pravidla 1 přiměřené snížení ceny povede ke zvýšení celkového příjmu.
• Dle Pravidla 3 je při ceně $P^* = 66{,}\overline{6}$ dosaženo maxima celkového příjmu ve výši

$TR(P^*) = P^*\cdot\sqrt{100 - P^*} = \frac{200}{3}\cdot\sqrt{\frac{100}{3}} = \frac{2000}{3\sqrt{3}} \doteq 384{,}9.$

Ke stejnému výsledku bychom dospěli přímým hledáním maxima funkce $TR$.

Cenová elasticita nabídky

Analogicky se definuje cenová elasticita nabídky (price elasticity of supply):

\boxed{\;E = E(P) = \frac{P}{Q}\cdot\frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}P}\;} \tag{4.13}

kde $Q = S(P)$ je funkce nabídky. Protože nabídka je rostoucí, $\dfrac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}P} > 0$, a elasticita nabídky je vždy nezáporná — proto zde není znaménková korekce jako u poptávky.

Klasifikace na elastickou / jednotkově elastickou / neelastickou je analogická jako u poptávky (tabulka (4.7)). Platí paralela k (4.8):

S rostoucí cenou elasticita nabídky roste. $(4.14)$

Pro nominální změny platí

\Delta Q \approx \mathrm{d}Q = Q'(P)\,\mathrm{d}P, \qquad \mathrm{d}P = \Delta P, \tag{4.15}

a pro procentní změny

\boxed{\;\Delta Q\% \approx E(P)\,\Delta P\%\;} \tag{4.16}

(bez znaménka minus).

Příklad 4.7

Nabídka $Q = 0{,}1P^2 + 5P + 150$:

$E = \frac{P}{0{,}1P^2 + 5P + 150}\,(0{,}2P + 5).$

Potom $E(10) = \tfrac{1}{3}$, $E(\sqrt{1500}) = 1$, $E(100) = \tfrac{50}{33} \doteq 1{,}515$. Dle (4.14): pro $P > \sqrt{1500} \approx 38{,}7$ je nabídka elastická, pro $P < 38{,}7$ neelastická. Zvýší-li se cena z 10 o 20 %, pak $\Delta Q\% \approx \tfrac{1}{3}\cdot 20 = 6{,}\overline{6}\,\%$.

Vícefaktorový model

Předpokládejme, že poptávané množství $Q$ závisí na ceně základního zboží $P$, na ceně alternativního zboží $P_A$ a na důchodu $Y$:

Q = D(P, P_A, Y). \tag{4.17}

V analogii jednofaktorového modelu pracujeme s parciálními derivacemi funkce poptávky.

Cenová elasticita poptávky (vícefaktorová)

\boxed{\;E_P = -\frac{P}{Q}\,Q'_P\;} \tag{4.18}

kde $Q'_P$ je parciální derivace (4.17) podle $P$. Vždy $E_P \ge 0$. Interpretace: $E_P(P^*, P_A^*, Y^*)$ udává přibližnou procentní změnu $Q$ při 1% změně $P^*$, ceteris paribus.

Křížová (křížově-cenová) elasticita poptávky

\boxed{\;E_{P_A} = \frac{P_A}{Q}\,Q'_{P_A}\;} \tag{4.19}

Interpretace: udává přibližnou procentní změnu $Q$ základního zboží při 1% změně ceny $P_A$ alternativního zboží (ceteris paribus).

Znaménko závisí na povaze alternativního zboží:

• Je-li alternativní zboží komplement, růst $P_A$ způsobí zdražení dvojice, pokles $Q$ $\Rightarrow\; Q'_{P_A} < 0,\; E_{P_A} < 0$.
• Je-li alternativní zboží substitut, růst $P_A$ učiní základní zboží relativně levnější, zájem se přesune, $Q$ roste $\Rightarrow\; Q'_{P_A} > 0,\; E_{P_A} > 0$.