Kalkul funkcí více proměnných

Většina ekonomických veličin závisí na více faktorech — produkce na práci a kapitálu, užitečnost na množství různých statků, poptávka na cenách více zboží i důchodu. Kalkul jedné proměnné se proto rozšiřuje na $z = f(x, y)$, $w = f(x, y, z), \ldots$.

Indiferenční / izokvantové křivky

Pro $z = f(x, y)$ se křivkou s předpisem $f(x, y) = c$ (konstanta) rozumí vrstevnice funkce. V ekonomii:

• Indiferenční křivky užitečnosti $U(Q_1, Q_2) = c$ — viz uzitecnost.
• Izokvanty produkce $Q(L, K) = c$ — viz produkce.

Parciální derivace

Pro $f(x, y)$ derivujeme jako kdyby druhá proměnná byla konstanta:

$f'_x = \frac{\partial f}{\partial x}, \qquad f'_y = \frac{\partial f}{\partial y}$

Hodnoty v bodě: $f'_x(a, b),\ f'_y(a, b)$.

Ekonomické značení

Pro produkční funkci $Q(L, K)$:

• $Q'_L$ = mezní produkt práce ($MP_L$)
• $Q'_K$ = mezní produkt kapitálu ($MP_K$)

Inženýrská interpretace

$f'_x(a, b)$:

• rychlost změny $f$ vůči $x$ při $x = a, y = b$ (kapitál fixní),
• přibližná změna $f$ při změně $x$ o 1 (a pevném $y = b$): $f(a+1, b) \approx f(a, b) + f'_x(a, b)$.

Diferenciál funkce dvou proměnných

$df = f'_x(x, y)\, dx + f'_y(x, y)\, dy$

Pro malá $dx, dy$ platí $\Delta f \approx df$. Linearizace přírůstku ve dvou směrech současně.

Implicitní funkce

Je-li vztah dán rovnicí $F(x, y) = 0$ a chceme derivaci $y$ podle $x$ (nebo naopak):

$y' = \frac{dy}{dx} = -\frac{F'_x}{F'_y}, \qquad x' = \frac{dx}{dy} = -\frac{F'_y}{F'_x}$

Tato vzorec dává sklon vrstevnice — používá se mj. pro výpočet MRTS a MRCS.

Volné extrémy funkce dvou proměnných

Nutná podmínka

V bodě extrému $A[a, b]$ musí platit současně:

$f'_x(a, b) = 0 \;\wedge\; f'_y(a, b) = 0$

Postačující podmínka

Definujeme diskriminant (Hessián zjednodušeně):

$D(x, y) = f''_{xx} \cdot f''_{yy} - (f''_{xy})^2$

V podezřelém bodě $[a, b]$:

1. $D(a, b) > 0$: je to extrém.
   • $f''_{xx}(a, b) > 0$ ⇒ minimum
   • $f''_{xx}(a, b) < 0$ ⇒ maximum
2. $D(a, b) < 0$: sedlo (v daném bodě extrém není).
3. $D(a, b) = 0$: podmínka nerozhoduje.

Vázané extrémy

Pro extrémy s omezující podmínkou $g(x, y) = 0$ se používá Lagrangeova metoda.

Navigace

• Předchozí: Integrál
• Navazující: Lagrangeova metoda
• Souvislosti: Produkce (parciální derivace = mezní produkty), Užitečnost (parciální derivace = mezní užitečnost), Elasticita (vícefaktorový model)