Produkce — produkční funkce, Cobb-Douglas, MRTS

!abstract TL;DR Produkční funkce popisuje vztah mezi vstupy (práce $L$ , kapitál $K$ ) a výstupem $Q$ . V jednofaktorovém modelu ( $Q = Q(L)$ ) studujeme mezní produkt práce $MP_L = Q'(L)$ a průměrný produkt $AP_L = Q/L$ ; v maximu $AP_L$ platí $MP_L = AP_L$ . Ve dvoufaktorovém modelu ( $Q = Q(L,K)$ ) dominují Cobb-Douglasovy funkce $Q = AL^a K^b$ ; mezní produkty $MP_L, MP_K$ jsou parciální derivace a jejich podíl dává mezní míru technické substituce $MRTS = MP_L/MP_K$ — sklon izokvanty. Součet exponentů $a+b$ určuje typ výnosů z rozsahu.

Úvod — cílové znalosti kapitoly 5

Po prostudování kapitoly 5 student umí:

popsat jednofaktorový model produkce,
vypočítat mezní a průměrný produkt práce a ekonomicky je interpretovat,
charakterizovat průběh křivky produkce,
formulovat princip maximalizace průměrného produktu práce,
popsat dvoufaktorový model produkce,
uvést tvar Cobb–Douglasových produkčních funkcí,
vyložit, co jsou konstantní, rostoucí, klesající výnosy z rozsahu,
vypočítat mezní produkty práce a kapitálu a ekonomicky je interpretovat,
najít izokvanty,
vypočítat mezní míru technické substituce (MRTS) a ekonomicky ji interpretovat.

Každý proces produkce je určován faktory (též vstupy) produkce. K hlavním patří práce $L$ , kapitál $K$ a půda. Při modelování se půda obvykle považuje za dlouhodobě konstantní, takže endogenními faktory zůstávají práce a kapitál. Je-li kapitál neměnný, hovoříme o jednofaktorovém modelu (produkce závisí jen na práci); v opačném případě o dvoufaktorovém modelu.

Související matematický aparát: Derivace, Funkce více proměnných (parciální derivace a totální diferenciál).

Jednofaktorový model produkce

Uvažujeme proces v krátkém období, kdy kapitál lze považovat za konstantní. Závislost produkce $Q$ na práci $L$ vyjadřuje produkční funkce

Q = Q(L), \tag{5.1}

jejíž graf se nazývá křivka produkce (production curve). Práce $L$ se měří počtem pracovníků, případně počtem pracovních hodin.

Mezní produkt práce ( $MP_L$ )

Mezní produkt práce (marginal product of labour) $MP_L$ je derivace produkce podle práce:

MP_L = \frac{dQ}{dL} = Q'(L). \tag{5.2}

Pro pevnou hodnotu $L^*$ udává $Q'(L^*)$ rychlost změny produkce vzhledem k práci v bodě $L^*$ , resp. přibližnou změnu produkce odpovídající jednotkové změně práce (z $L^*$ na $L^*+1$ ).

!info Intuice $MP_L$ odpovídá na otázku „kolik produkce přibude, když přidám jednoho dalšího pracovníka (při neměnném kapitálu)?". Je to sklon křivky produkce v bodě $L$ .

Přibližná změna produkce pro změnu práce o $dL$ (z $L$ na $L+dL$ ) pomocí diferenciálu:

\Delta Q \approx dQ = Q'(L)\,dL = MP_L\,dL. \tag{5.3}

Skutečná změna je $\Delta Q = Q(L+dL) - Q(L)$ .

Zákon klesajících mezních výnosů

Zákon klesajících výnosů (law of diminishing marginal productivity):

Roste-li postupně některý ze vstupů (ceteris paribus), budou přírůstky výstupu od jistého bodu klesat.

Typická křivka produkce (Obrázek 5.2) má dvě fáze:

1° Do bodu $L_0$ : $MP_L$ roste, tj. $(MP_L)' = Q''(L) > 0$ — křivka produkce je konvexní. 2° Od bodu $L_0$ : $MP_L$ klesá, $Q''(L) < 0$ — křivka produkce je konkávní. $MP_L$ v kladných hodnotách klesá do bodu $L_1$ , kde $MP_L(L_1) = 0$ (maximum produkce), a dále pokračuje v záporných hodnotách. Bod $L_0$ je inflexním bodem produkční funkce.

Matematicky: zákon klesajících výnosů znamená, že od určitého $L_0$ platí $Q''(L) < 0$ .

Typický polynom třetího stupně: $Q(L) = aL^3 + bL^2$ s $a < 0$ , $b > 0$ . Pak

L_0 = -\tfrac{1}{3}\tfrac{b}{a}, \qquad L_1 = -\tfrac{2}{3}\tfrac{b}{a}.

Průměrný produkt práce ( $AP_L$ )

Průměrný produkt práce (average product of labour) $AP_L$ je podíl produkce a práce:

AP_L = \frac{Q}{L}. \tag{5.4}

Je to nejjednodušší míra produktivity práce. Cílem optimalizace je maximalizace $AP_L$ .

Princip maximalizace průměrného produktu práce

imek-q-mpl-apl-tripanel

Princip: Má-li $AP_L$ v bodě $L_0$ maximum, pak platí $MP_L(L_0) = AP_L(L_0). \tag{5.5}$

Slovně: v bodě maxima průměrného produktu práce se mezní produkt práce rovná průměrnému produktu práce. Jde o analogii principu minimalizace průměrných nákladů $AC$ .

!tip Postup — jak najít max $AP_L$
Napište $AP_L = Q(L)/L$ a zderivujte.
Položte $(AP_L)' = 0$ a vyřešte. Zkratka: můžete rovnou řešit $MP_L(L) = AP_L(L)$ .
Ověřte 2. derivací (či grafem), že jde o maximum.

Odvození

Z $AP_L = Q(L)/L$ a derivace podílu:

(AP_L)'(L) = \frac{Q'(L)\cdot L - Q(L)\cdot 1}{L^2} = \frac{1}{L}\left(Q'(L) - \frac{Q(L)}{L}\right) = \frac{1}{L}\bigl(MP_L(L) - AP_L(L)\bigr).

Pro $L_0 > 0$ je $(AP_L)'(L_0) = 0 \Leftrightarrow MP_L(L_0) = AP_L(L_0)$ , čímž je (5.5) dokázáno.

Příklad 5.1

Je dána produkce $Q = 6L^2 - 0{,}2L^3$ .

(a) Pro $L = 2, 5, 8, 10, 14, 18, 20, 21, 25$ určíme $MP_L$ .

Podle (5.2): $MP_L = Q'(L) = 12L - 0{,}6L^2 = L(12 - 0{,}6L)$ . Dosazením:

$L$	2	5	8	10	14	18	20	21	25
$MP_L$	21,6	45	57,6	60	50,4	21,6	0	$-12{,}6$	$-75$

$MP_L$ nabývá maxima pro $L = 10$ (60 jednotek/prac.). Od $L = 10$ přírůstky klesají, v $L = 20$ produkce přestává růst (maximum $Q(20) = 800$ ), od $L > 20$ produkce klesá (fyzické přeplnění pracoviště při neměnném kapitálu).

Obrázek 5.1 — graf produkce $Q(L) = 6L^2 - 0{,}2L^3$ s maximem $Q = 800$ v bodě $L = 20$ .

(b) Přibližná změna produkce při růstu pracovníků z 6 na 9.

Podle (5.3) s $L = 6$ , $dL = 3$ :

dQ = MP_L(6)\cdot 3 = (12\cdot 6 - 0{,}6\cdot 36)\cdot 3 = 50{,}4 \cdot 3 = 151{,}2.

Produkce vzroste z $Q(6) = 172{,}8$ přibližně na $324$ . Skutečná hodnota: $\Delta Q = Q(9) - Q(6) = 340{,}2 - 172{,}8 = 167{,}4$ .

Příklad 5.2

Ověříme princip (5.5) pro $Q = 6L^2 - 0{,}2L^3$ .

AP_L = \frac{Q}{L} = 6L - 0{,}2L^2, \quad AP_L' = 6 - 0{,}4L = 0 \;\Rightarrow\; L_0 = 15.

$AP_L'' = -0{,}4 < 0$ , takže v $L = 15$ je maximum, $AP_L(15) = 6\cdot 15 - 0{,}2\cdot 225 = 90 - 45 = 45$ .

$MP_L(15) = 12\cdot 15 - 0{,}6\cdot 225 = 180 - 135 = 45$ . Tedy $MP_L(15) = AP_L(15) = 45$ , jak požaduje (5.5).

Zkratka bez hledání extrému: stačí řešit $MP_L = AP_L$ , tj. $12L - 0{,}6L^2 = 6L - 0{,}2L^2 \Rightarrow L = 15$ .

Obrázek 5.3 — křivky $MP_L$ (max 60 při $L=10$ ) a $AP_L$ (max 45 při $L=15$ ), průsečík v $L = 15$ . Nalevo od 15 leží $MP_L$ nad $AP_L$ , napravo pod ní.

Dvoufaktorový model produkce

V dvoufaktorovém modelu závisí produkce $Q$ na práci $L$ i kapitálu $K$ :

Q = Q(L, K). \tag{5.6}

Půda je nadále standardní exogenní proměnnou. Vztah (5.6) se nazývá produkční funkce (v širším smyslu oproti jednofaktorovému modelu).

Cobb-Douglasova produkční funkce

Široce používané produkční funkce mají tvar

Q = A\,L^a\,K^b, \tag{5.7}

kde $A, a, b$ jsou kladné konstanty. Nazývají se Cobb-Douglasovy (poprvé publikovány v roce 1939). V ekonomických analýzách zpravidla $a, b < 1$ .

imek-vynosy-z-rozsahu-3typy

Reflektují ekonomickou zákonitost, že proporcionální změny vstupů mají odezvu v proporcionální změně výstupu. Změní-li se práce z $L$ na $rL$ a kapitál z $K$ na $rK$ :

Q(rL, rK) = A(rL)^a(rK)^b = A\,r^{a+b}\,L^a K^b = r^{a+b}\,Q(L, K). \tag{5.8}

Volně: změní-li se vstupy $r$ -krát, změní se výstup $r^{a+b}$ -krát.

Výnosy z rozsahu

Součet exponentů $a+b$ určuje typ výnosů z rozsahu:

Typ	Podmínka	Chování produkce při $r$ -násobném zvýšení vstupů	Příklad
1° Konstantní (constant returns)	$a+b = 1$	$Q$ vzroste přesně $r$ -krát	$Q = 2L^{1/4}K^{3/4}$
2° Rostoucí (increasing returns)	$a+b > 1$	$Q$ vzroste více než $r$ -krát	$Q = 7LK^2$ ( $a+b = 3$ )
3° Klesající (decreasing returns)	$a+b < 1$	$Q$ vzroste méně než $r$ -krát	$Q = 10L^{0{,}3}K^{0{,}5}$ ( $a+b = 0{,}8$ )

!warning Pozor Součet $a+b$ neudává velikost produkce, ale elasticitu vůči škálování vstupů. Speciálně ryzí Cobb-Douglas $Q = AL^a K^{1-a}$ má $b = 1-a$ , tedy vždy konstantní výnosy z rozsahu.

Parametr efektivity $A$

Konstanta $A$ v (5.7) proporcionálně ovlivňuje úroveň produkce $Q$ při pevně zadaných $L, K$ , a lze ji proto chápat jako parametr efektivity — indikátor stavu technologie.

Příklad 5.3

Produkční funkce $Q = 2L^{1/4} K^{3/4}$ má konstantní výnosy z rozsahu, neboť $\tfrac{1}{4} + \tfrac{3}{4} = 1$ .

Změní-li se $L$ i $K$ čtyřnásobně, změní se $Q$ $4^{1/4 + 3/4} = 4^1$ -krát:

Q(4L, 4K) = 2(4L)^{1/4}(4K)^{3/4} = 2\cdot 4^{1/4+3/4} L^{1/4} K^{3/4} = 4\cdot 2L^{1/4}K^{3/4} = 4\,Q(L,K).

Homogenita

Funkce $Q(L, K)$ je homogenní stupně $n$ , jestliže

Q(rL, rK) = r^n\,Q(L, K), \tag{5.10}

kde $n \geq 0$ je celé číslo a $r > 0$ . Homogenní funkce stupně $1$ se nazývají lineárně homogenní. Cobb-Douglasovy funkce jsou homogenní stupně $a+b$ .

Ryzí Cobb-Douglas a CES

Ryzí Cobb-Douglasovy funkce:

Q = A\,L^a\,K^{1-a}, \quad 0 < a < 1. \tag{5.9}

Mají vždy konstantní výnosy z rozsahu a jsou lineárně homogenní.

CES produkční funkce (Constant Elasticity of Substitution, 1961):

Q = A\left[(1-a)\,L^{-b} + a\,K^{-b}\right]^{-\tfrac{1}{b}},

kde $A > 0$ , $0 < a < 1$ , $-1 < b \neq 0$ . Cobb-Douglasovy funkce jsou jejich zvláštním případem.

Další typy:

Lineární: $Q(L, K) = aL + bK$ — dokonalé substituty.
Leontiefova: $Q(L, K) = \min(aL, bK)$ — dokonalé komplementy (fixní proporce).

Mezní produkty $MP_L$ , $MP_K$ a totální diferenciál

Mezní produkt práce:

MP_L = Q'_L = \frac{\partial Q}{\partial L}.

Mezní produkt kapitálu:

MP_K = Q'_K = \frac{\partial Q}{\partial K}.

$MP_L(a, b)$ udává rychlost změny produkce vzhledem k práci v bodě $[a, b]$ (na hladině $K = b$ ), resp. přibližnou změnu produkce při jednotkové změně $L$ . Analogicky $MP_K(a, b)$ .

!info Intuice
$MP_L$ : „o kolik vzroste $Q$ , když přidám jednu jednotku práce (a kapitál držím pevně)?"
$MP_K$ : „o kolik vzroste $Q$ , když přidám jednu jednotku kapitálu (a práci držím pevně)?"

Totální diferenciál — přibližná změna produkce při změně práce o $dL$ a kapitálu o $dK$ :

\Delta Q \approx dQ = Q'_L\,dL + Q'_K\,dK = MP_L\,dL + MP_K\,dK. \tag{5.11}

Skutečná změna: $\Delta Q = Q(L+dL, K+dK) - Q(L, K)$ .

Zákon klesajících výnosů platí ve 2F modelu pro oba vstupy: pro pevné $K_0$ se od jistého $L$ stane $MP_L$ klesající ( $Q''_{LL} < 0$ ); analogicky $Q''_{KK} < 0$ pro pevné $L_0$ .

Eulerova věta pro homogenní funkce

Eulerova věta (úloha 5.10): pro homogenní funkci $Q(L, K)$ stupně $n$ platí

L\,Q'_L + K\,Q'_K = n\,Q(L, K). \tag{5.12}

Speciální případ $n = 1$ (konstantní výnosy z rozsahu):

L\cdot MP_L + K\cdot MP_K = Q(L, K).

Slovně — v případě konstantních výnosů z rozsahu se součet součinů počtu jednotek vstupů (práce a kapitálu) a jejich mezních produktů rovná výstupu (důchodové pravidlo: celkový produkt je přesně rozdělen mezi vstupy podle jejich mezních produktů).

Izokvanty

Izokvanty (isoquants) jsou křivky stejné produkce — množina dvojic $[L, K]$ , pro něž produkční funkce nabývá pevně zvolené hodnoty $q$ :

Q(L, K) = q. \tag{5.13}

Jsou to indiferenční křivky produkční funkce (analogie s indiferenčními křivkami u užitečnosti).

Vlastnosti izokvant Cobb-Douglasových funkcí:

klesající — pokles kapitálu vyžaduje kompenzující růst práce k udržení produkce;
konvexní (úloha 5.14);
neprotínají se;
s rostoucím $q$ se vzdalují od počátku.

Obrázek 5.4 — izokvanty Cobb-Douglasovy funkce v rovině $(L, K)$ : tři klesající konvexní křivky pro $q_1 < q_0 < q_2$ .

Mezní míra technické substituce ( $MRTS$ )

Mezní míra technické substituce (marginal rate of technical substitution) je podíl mezních produktů:

MRTS = MRTS(L, K) = \frac{MP_L}{MP_K} = \frac{Q'_L}{Q'_K}. \tag{5.14}

Interpretace: $MRTS(L, K)$ udává, o kolik se musí přibližně změnit kapitál $K$ , jestliže se práce $L$ změní o jednotku, aby byla zachována produkce (pohyb po izokvantě).

!info Intuice $MRTS$ říká: „jednu jednotku práce musím nahradit přibližně $MRTS$ jednotkami kapitálu, aby produkce $Q$ zůstala stejná." Je to směnný kurz mezi vstupy při zachování produkce — přesná analogie MRCS z teorie užitečnosti, kde nahrazujeme spotřební statky při zachování užitku.

imek-izokvanty-mrts

Geometrická interpretace: sklon tečny k izokvantě v bodě $[L_0, K_0]$ je $-MRTS$ . Z derivace implicitní funkce (při $Q(L,K) = q_0$ ):

\frac{dK}{dL} = -\frac{Q'_L}{Q'_K} = -MRTS.

Změní-li se práce o $dL$ , lze pro odhad změny kapitálu $\Delta K$ k udržení produkce použít diferenciál:

\Delta K \approx dK = -MRTS\,dL, \tag{5.15}

dL = \frac{-1}{MRTS}\,dK. \tag{5.16}

!tip Postup — jak spočítat $MRTS$
Vypočtěte parciální derivace $Q'_L$ a $Q'_K$ .
Dosaďte do $MRTS = Q'_L / Q'_K$ (zlomek zjednodušte).
Případně dosaďte konkrétní $[L_0, K_0]$ .
Pro odhad substituce použijte $\Delta K \approx -MRTS \cdot \Delta L$ (znaménko mínus — substituce, ne doplnění).

Obrázek 5.7 — izokvanta $q_0 = Q(L,K)$ s tečnou $t$ v bodě $[L_0, K_0]$ ; $\Delta K$ odhadnut diferenciálem (záporně vzatý sklon tečny).

Příklady (dvoufaktorový model)

Příklad 5.4

Je dána produkce $Q = 15 L^{1/2} K^{1/3}$ , $L = 20$ , $K = 100$ .

(a) Rychlost změny produkce vzhledem k práci.

MP_L = Q'_L = \tfrac{15}{2} L^{-1/2} K^{1/3}, \quad MP_L(20, 100) = \tfrac{15}{2}\cdot \tfrac{1}{\sqrt{20}}\cdot \sqrt[3]{100} \approx 7{,}153.

Přibližná změna při $L: 20 \to 21$ (při $K = 100$ ): $\Delta Q \approx 7{,}153$ . Skutečně $\Delta Q \approx 26{,}888$ (dle knihy; zaokrouhlení v konkrétním výpočtu).

(b) Pokles kapitálu o 1 (z 100 na 99).

MP_K = Q'_K = 5 L^{1/2} K^{-2/3}, \quad MP_K(20, 100) = 5\sqrt{20}\cdot \tfrac{1}{\sqrt[3]{10000}} \approx 4{,}525.

Produkce poklesne přibližně o 4,525 (z $\approx 905{,}126$ na $\approx 900{,}601$ ).

(c) Změna $L: 20 \to 15$ a $K: 100 \to 150$ (tj. $dL = -5$ , $dK = 50$ ).

dQ = MP_L(20,100)\cdot(-5) + MP_K(20,100)\cdot 50 = 7{,}153\cdot(-5) + 4{,}525\cdot 50 \approx 190{,}485.

Produkce vzroste přibližně z 905,126 na 995,611.

Příklad 5.5

Pro produkci $Q(L, K) = \sqrt[3]{L}\sqrt{K}$ mají izokvanty rovnici $\sqrt[3]{L}\sqrt{K} = q$ .

Umocněním na druhou: $K = q^2 / \sqrt[3]{L^2}$ .

$q = 1 \Rightarrow K = 1/\sqrt[3]{L^2}$
$q = 2 \Rightarrow K = 4/\sqrt[3]{L^2}$
$q = 3 \Rightarrow K = 9/\sqrt[3]{L^2}$

Obrázek 5.5 — tři klesající konvexní izokvanty v rovině $(L, K)$ pro $q = 1, 2, 3$ .

Příklad 5.6

Je dána produkce $Q = 2L + \sqrt{K}$ .

MP_L = 2, \qquad MP_K = \frac{1}{2\sqrt{K}}.

MRTS = \frac{MP_L}{MP_K} = \frac{2}{\tfrac{1}{2\sqrt{K}}} = 4\sqrt{K}.

Například $MRTS(4, 7) = 4\sqrt{7} \approx 10{,}58$ . Klesne-li práce z 4 na 3, je k udržení produkce $Q(4,7) = 8 + \sqrt{7} \approx 10{,}646$ třeba zvýšit kapitál přibližně o $4\sqrt{7}$ .

Pokud se práce naopak zvýší ze 4 na 6 ( $dL = 2$ ), k udržení produkce stačí snížit kapitál o

dK = -MRTS(4,7)\cdot 2 = -8\sqrt{7} \approx -21{,}17.

Shrnutí kapitoly 5

Hlavními faktory produkce jsou práce, kapitál a půda; půda je standardní exogenní proměnná. Přicházejí proto v úvahu jednofaktorový (pouze práce) a dvoufaktorový (práce + kapitál) model.

V 1F modelu se definuje mezní produkt práce (derivace produkce podle práce) a průměrný produkt práce (podíl produkce a práce). Produkční funkce má typický tvar díky zákonu klesajících výnosů: $MP_L$ nejprve roste, od inflexního bodu $L_0$ klesá a v bodě $L_1$ dosahuje nuly (maximum produkce). Platí princip maximalizace $AP_L$ : v bodě maxima $AP_L$ se $MP_L = AP_L$ .

Ve 2F modelu se obvykle používají Cobb-Douglasovy funkce $Q = AL^a K^b$ , které reflektují proporcionalitu změn vstupů a výstupu. Podle $a+b$ rozlišujeme konstantní, rostoucí, klesající výnosy z rozsahu. Mezní produkty $MP_L, MP_K$ jsou parciální derivace, totální diferenciál dává přibližnou změnu produkce. Izokvanty jsou indiferenční křivky produkční funkce. Podíl $MP_L/MP_K$ je mezní míra technické substituce ( $MRTS$ ) — udává, o kolik se musí změnit kapitál při jednotkové změně práce pro zachování produkce.

Otázky k sebehodnocení

Jaké jsou faktory produkce?
Jak se dospěje k jednofaktorovému a dvoufaktorovému modelu produkce?
Jak je zadána produkční funkce u jednofaktorového modelu?
Co udává mezní produkt práce?
Co musí respektovat průběh křivky produkce?
Jak lze matematicky vyjádřit zákon klesajících výnosů?
Jaký základní ekonomický požadavek respektují Cobb-Douglasovy funkce?
Jak se vypočtou mezní produkty práce a kapitálu?
Jak se stanoví přibližná změna produkce v závislosti na změnách práce a kapitálu?
Co vyjadřují izokvanty? Jaké jsou jejich typické vlastnosti?
Jak se vypočte mezní míra technické substituce a co vyjadřuje?

Úlohy 5.1–5.17

Jednofaktorový model

5.1 Je dána produkce $Q = 10\sqrt{L}$ . (a) Vypočtěte $Q(1)$ , $Q(4)$ , $Q(9)$ . (b) Rozhodněte, kdy produkce roste, resp. klesá. (c) Rozhodněte, kdy je křivka produkce konvexní, resp. konkávní. (d) Načrtněte křivku produkce.

5.2 Je dána produkce $Q = -0{,}1 L^{3} + 9 L^{2}$ . (a) Rozhodněte, kdy produkce roste, resp. klesá. (b) Rozhodněte, kdy je křivka produkce konvexní, resp. konkávní. (c) Určete $L$ (počet pracovníků), které maximalizuje produkci a stanovte příslušné maximum produkce. (d) Načrtněte křivku produkce. (e) Najděte mezní produkt práce $MP_L$ . (f) Vypočtěte $MP_L(10)$ a ekonomicky interpretujte. (g) Určete přibližnou změnu produkce v důsledku zvýšení počtu pracovníků z $10$ na $13$ a porovnejte se skutečnou změnou produkce.

5.3 Pro zadanou produkci ověřte platnost zákona klesajících výnosů a charakterizujte vlastnosti mezního produktu práce: (a) $Q = 500\sqrt{L}$ . (b) $Q = 300\sqrt{L} - 4L$ . (c) $Q = 50L - 0{,}01 L^{2}$ . (d) $Q = -0{,}3 L^{3} + 9 L^{2}$ .

5.4 Dokažte, že má-li průměrný produkt práce $AP_L$ v bodě $L_0$ maximum, pak platí $AP_L(L_0) = MP_L(L_0)$ .

5.5 Je dána produkce $Q = -0{,}2 L^{3} + 12 L^{2}$ , kde $L$ je počet pracovníků. (a) Určete počet pracovníků, při kterém je dosaženo nejvyšší produktivity práce (= maximálního průměrného produktu práce $AP_L$ ) a stanovte, kolik jednotek produkce připadá na jednoho pracovníka. (b) Určete počet pracovníků s využitím principu maximalizace průměrného produktu práce. (c) Ověřte platnost principu maximalizujícího produkci a stanovte příslušné maximum produkce. (d) Porovnejte počet pracovníků v případech (a), (c). (e) Graficky interpretujte získané výsledky.

Dvoufaktorový model

5.6 Pro zadanou produkci rozhodněte, jaké výnosy z rozsahu představují: (a) $Q = 7 L K^{2}$ . (b) $Q = 50 L^{2/3} K^{1/3}$ . (c) $Q = 18 L^{3/5} K^{2/5}$ .

5.7 Je dána produkce $Q = 10 L^{1/2} K^{1/2}$ . (a) Vypočtěte produkci pro $L = 400$ , $K = 17576$ . (b) Rozhodněte o tom, jaké výnosy z rozsahu představuje a vyložte, jak se změní produkce, jestliže se vstupy $L, K$ zdvojnásobí.

5.8 V jedné empirické studii (40. léta 20. století) ze sektoru manufaktur odhadli Cobb a Douglas produkci ze zjištěných údajů ve tvaru $Q = 1{,}01 L^{0{,}75} K^{0{,}25}$ . (a) Vypočtěte produkci pro $L = 250$ , $K = 1000$ . (b) Vypočtěte $MP_L(250, 1000)$ a výsledek ekonomicky interpretujte. (c) Vypočtěte $MP_K(250, 1000)$ a výsledek ekonomicky interpretujte. (d) Odhadněte změnu produkce v důsledku zvýšení $L$ na $260$ a současném poklesu $K$ na $900$ vzhledem k hladině dle (a) a porovnejte se skutečnou změnou produkce.

5.9 Ověřte platnost zákona klesajících výnosů pro produkci $Q = 10 L^{0{,}3} K^{0{,}5}$ .

5.10 Dokažte, že pro homogenní funkci $Q(L, K)$ stupně $n$ platí $L Q'_L + K Q'_K = n Q(L, K)$ (Eulerova věta).

5.11 Ověřte platnost Eulerovy věty (úloha 5.10) pro Cobb-Douglasovu produkční funkci.

5.12 Je dána produkce $Q = L^{1/3} K^{1/4}$ . (a) Najděte rovnici izokvant. (b) Najděte rovnici izokvant pro produkci $q_0 = 1$ , $q_1 = 2$ , $q_2 = 3$ . (c) Načrtněte izokvanty.

5.13 Je dána produkce $Q = L^{1/3} K^{1/2}$ . Rozhodněte, které ze zadaných bodů leží na téže izokvantě a v kladném případě stanovte, jaká produkce je na příslušné izokvantě dosažena (užijte kalkulátoru): $A_1[1; 1]$ , $A_2[1; 8]$ , $A_3[1; 27]$ , $A_4[2; 0{,}353]$ , $A_5[2; 2{,}828]$ , $A_6[2; 9{,}545]$ , $A_7[1{,}5; 0{,}544]$ , $A_8[1{,}5; 14{,}696]$ , $A_9[2; 5]$ .

5.14 Dokažte, že izokvanty Cobb-Douglasovy produkční funkce jsou klesající a konvexní.

5.15 Produkce firmy je dána vztahem $Q = 2 L^{0{,}5} K^{0{,}25}$ . (a) Vypočtěte produkci, mezní produkt práce a mezní produkt kapitálu, zaměstnává-li firma $100$ pracovníků a disponuje-li $81$ jednotkami kapitálu. (b) Určete mezní míru technické substituce $MRTS$ . (c) Vypočtěte $MRTS$ na hladině dle (a) a výsledek ekonomicky interpretujte. (d) Odhadněte změnu kapitálu potřebné k udržení produkce na hladině dle (a), jestliže počet pracovníků poklesne na $95$ .

5.16 Je dána produkce $Q = K^{2} + 2 L^{2}$ . (a) Určete $MRTS$ . (b) Odhadněte změnu práce potřebné k udržení produkce, která je realizována $50$ pracovníky a $90$ jednotkami kapitálu, jestliže se kapitál sníží na $80$ jednotek.

5.17 Odvoďte, že pro Cobb-Douglasovu produkční funkci $Q = A L^{a} K^{b}$ platí $MRTS = \tfrac{a}{b}\cdot \tfrac{K}{L}$ .

Klíčové pojmy

Faktory (vstupy) produkce: práce $L$ , kapitál $K$ , půda.
Jednofaktorový model — $Q = Q(L)$ .
Produkční funkce (production function) a křivka produkce.
Mezní produkt práce $MP_L = dQ/dL = Q'(L)$ .
Průměrný produkt práce $AP_L = Q/L$ .
Zákon klesajících mezních výnosů — od určitého $L_0$ platí $Q''(L) < 0$ .
Inflexní bod $L_0$ — přechod z konvexity do konkavity.
Bod maxima produkce $L_1$ — $MP_L(L_1) = 0$ .
Princip maximalizace $AP_L$ — v bodě maxima $AP_L$ platí $MP_L = AP_L$ .
Polynomiální produkční funkce $Q(L) = aL^3 + bL^2$ , $a < 0$ , $b > 0$ .
Diferenciál produkce $\Delta Q \approx dQ = MP_L\,dL$ .
Dvoufaktorový model — $Q = Q(L, K)$ .
Cobb-Douglasova produkční funkce — $Q = AL^a K^b$ .
Ryzí Cobb-Douglas — $Q = AL^a K^{1-a}$ (konstantní výnosy).
CES produkční funkce — $Q = A[(1-a)L^{-b} + aK^{-b}]^{-1/b}$ .
Lineární ( $aL + bK$ ) a Leontiefova ( $\min(aL, bK)$ ) produkční funkce.
Homogenita stupně $n$ — $Q(rL, rK) = r^n Q(L, K)$ .
Parametr efektivity $A$ — indikátor stavu technologie.
Výnosy z rozsahu — konstantní ( $a+b=1$ ), rostoucí ( $a+b>1$ ), klesající ( $a+b<1$ ).
Mezní produkt práce $MP_L = Q'_L$ , kapitálu $MP_K = Q'_K$ .
Totální diferenciál $dQ = MP_L\,dL + MP_K\,dK$ .
Eulerova věta — $L Q'_L + K Q'_K = n\,Q(L,K)$ .
Izokvanta — křivka $Q(L, K) = q$ .
Mezní míra technické substituce $MRTS = MP_L/MP_K$ .
Substituční vztah $\Delta K \approx -MRTS\,dL$ .

Navigace

Související témata: Funkce více proměnných (parciální derivace, totální diferenciál), Derivace, Lagrangeova metoda (optimalizace produkce s rozpočtovým omezením), Užitečnost (paralela: izokvanty ↔ indiferenční křivky, $MRTS$ ↔ $MRCS$ ), Příjem, náklady, zisk (analogie principu max $AP_L$ ↔ min $AC$ ).
Předchozí: Elasticita.
Přednáška: KS 2. blok.
Kurz: Matematická ekonomie.