Derivace, diferenciál a extrémy funkcí jedné proměnné

Matematický aparát kurzu ImeK. Bez derivace se neobejdou mezní veličiny (mezní náklady, mezní příjem, mezní užitečnost), bez extrémů se neobejde maximalizace zisku ani minimalizace nákladů.

Funkce a polynomy

Funkce jedné proměnné $y = f(x)$ — předpis závislosti $x$ (nezávislá) → $y$ (závislá). Hodnota v bodě: $f(a)$.

Polynomy:

• 1. stupně: $y = ax + b$
• 2. stupně: $y = ax^2 + bx + c$
• 3. stupně: $y = ax^3 + bx^2 + cx + d$

Příklad rozkladu: $y = x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3)$, kořeny $x_1 = 2,\ x_2 = 3$. Vrcholový tvar $y = (x - \tfrac{5}{2})^2 - \tfrac{1}{4}$.

Derivace

Označení $f'(x)$ nebo $\dfrac{dy}{dx}$. Hodnota v bodě: $f'(a)$.

Geometrická interpretace

$f'(a)$ = sklon tečny ke grafu funkce v bodě $[a, f(a)]$. Rovnice tečny:

$y - f(a) = f'(a)(x - a)$

Inženýrská interpretace

$f'(a)$ = rychlost změny $y$ vzhledem k $x$ v bodě $x = a$; přibližná změna $y$ při změně $x$ z $a$ na $a+1$:

$f(a+1) \approx f(a) + f'(a)$

Příklad — mezní náklady

Celkové náklady $TC = 1000 + 2Q + 0{,}1 Q^2$.

Mezní náklady: $MC = TC' = 2 + 0{,}2 Q$, takže $MC(10) = 4$.

Skutečný přírůstek: $\Delta TC = TC(11) - TC(10) = 4{,}2$. Přibližný (lineární): $4$.

(Viz aplikace v prijem-naklady-zisk.)

Diferenciál

$df = f'(x)\, dx$

Pro malá $dx$ platí: $\Delta f = f(x + dx) - f(x) \approx df$. Diferenciál je lineární odhad přírůstku.

Příklad

$TC = 100 + 0{,}1 Q^2$, odhad změny při $Q: 50 \to 60$ (tj. $dQ = 10$):

$dTC = 0{,}2 Q \cdot dQ = 0{,}2 \cdot 50 \cdot 10 = 100$

Přesná změna: $\Delta TC = 110$. Lineární odhad mírně podstřeluje, protože $TC$ je konvexní.

Extrémy funkce jedné proměnné

Nutná podmínka

Má-li $f(x)$ v bodě $a$ extrém, pak $f'(a) = 0$. Body splňující tuto podmínku se nazývají stacionární (podezřelé) body.

Postačující podmínka

Pro stacionární bod $a$, je-li $f''(a) \neq 0$:

• $f''(a) > 0$ ⇒ lokální minimum
• $f''(a) < 0$ ⇒ lokální maximum

Příklad

$f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 3$

• $f'(x) = 6x^2 - 6x - 12 = 6(x+1)(x-2) = 0$ ⇒ S.B. $x_1 = -1, x_2 = 2$
• $f''(x) = 12x - 6$
• $f''(-1) = -18 < 0$ ⇒ maximum v $-1$
• $f''(2) = 18 > 0$ ⇒ minimum v $2$

Navigace

• Předchozí: Základy matematické ekonomie
• Navazující: Integrál
• Souvislosti: Funkce více proměnných (rozšíření na 2D), Příjem, náklady, zisk (aplikace mezních veličin), Elasticita (procentní citlivost přes derivaci)