IS-LM analýza — simultánní rovnováha trhu zboží a peněz

TL;DR

IS-LM je makroekonomický model se dvěma neznámými ($Y$ — národní důchod a $r$ — úroková míra) a dvěma trhy: trhem zboží (křivka IS, Investment = Savings) a trhem peněz (křivka LM, Liquidity of Money). Průsečík obou křivek určuje simultánní rovnováhu $(Y^E, r^E)$, v níž jsou oba trhy vyvážené zároveň. Model je klíčovým nástrojem pro analýzu fiskální politiky (posun IS změnou $G$, $T$) a monetární politiky (posun LM změnou nabídky peněz $M^*$).

Motivace — proč přejít od C-I-G-X k IS-LM

V modelech C-I, C-I-G a C-I-G-X byly investice pokládány za konstantní ($I = I^*$). To není realistické — investice firem závisejí na ceně peněz, tedy na úrokové míře $r$: čím vyšší $r$, tím dražší úvěr a tím méně investic. IS-LM analýza proto zavádí:

• funkci investic $I = I(r)$ jako klesající funkci úrokové míry,
• trh peněz, jehož rovnováha (poptávka = nabídka peněz) doplňuje druhou rovnici potřebnou pro určení obou neznámých.

!warning Pozor — dvě neznámé vyžadují dvě rovnice V modelech $C\text{-}I$ až $C\text{-}I\text{-}G\text{-}X$ byla hlavní neznámou jen $Y$. V IS-LM jsou dvě neznámé $Y$ a $r$, a proto potřebujeme dvě rovnice: jednu z trhu zboží (křivka IS) a jednu z trhu peněz (křivka LM).

Funkce investic a funkce spotřeby

Lineární závislost investic $I$ na úrokové míře $r$:

$I = I(r) = cr + d, \qquad c < 0,\ d > 0. \qquad (7.11)$

• $d > 0$ zřejmé,
• $c < 0$, protože růst úrokové míry tlumí investice — funkce investic je klesající.

Spotřeba zůstává lineární funkcí důchodu:

$C = C(Y) = aY + b, \qquad 0 < a < 1,\ b > 0. \qquad (7.12)$

Podmínka rovnováhy na trhu zboží:

$Y = C + I. \qquad (7.13)$

To dává tři rovnice o čtyřech neznámých $Y, C, I, r$. Pro jednoznačné určení rovnováhy potřebujeme čtvrtou rovnici — odvodí se z rovnováhy na trhu peněz.

Křivka IS — rovnováha na trhu zboží

Podmínka (7.13) reprezentuje rovnováhu na trhu zboží, protože s ohledem na $Y = C + S$ plyne $I = S$ (plánované investice = úspory). Dosazením (7.11) a (7.12) do (7.13):

$Y = (aY + b) + (cr + d),$

$(1 - a)Y - cr - b - d = 0,$

odkud

$\boxed{\,Y = \frac{c}{1 - a}\,r + \frac{b + d}{1 - a}\,} \qquad (7.14)$

Tento vztah se nazývá funkce IS (IS schedule) a její graf křivka IS. Křivka je klesající přímka v rovině $(r, Y)$, neboť $\frac{c}{1-a} < 0$ (čitatel záporný, jmenovatel kladný). Název vyjadřuje, že křivka popisuje ty kombinace $(r, Y)$, pro které plánované Investment = Savings.

!info Intuice — proč IS klesá Nižší úroková míra $r$ → levnější úvěr → více investic $I$ → vyšší agregátní poptávka → vyšší rovnovážný důchod $Y$. Vztah mezi $r$ a $Y$ na trhu zboží je proto nepřímý (klesající křivka).

Křivka LM — rovnováha na trhu peněz

Rovnováha na trhu peněz: poptávka po penězích $M^D$ se rovná nabídce peněz $M^S$. Nabídka je pod kontrolou národní banky a je pevně zadána:

$M^S = M^*.$

Poptávka po penězích má tři zdroje:

• transakční poptávka (transactions demand) — peníze pro nákup zboží,
• opatrnostní poptávka (precautionary demand) — peníze pro nenadálé výdaje,
• spekulační poptávka (speculative demand) — peníze pro zhodnocení (akcie, obligace).

Součet transakční a opatrnostní poptávky $L_1$ je úměrný důchodu:

$L_1 = k_1 Y, \qquad 0 < k_1 < 1.$

Spekulační poptávka $L_2$ závisí na úrokové míře (roste-li $r$, $L_2$ klesá, protože vyšší výnos obligací snižuje atraktivitu držby peněz):

$L_2 = k_2 r + k_3, \qquad k_2 < 0,\ k_3 > 0.$

Celková poptávka po penězích:

$M^D = L_1 + L_2 = k_1 Y + k_2 r + k_3.$

Podmínka rovnováhy na trhu peněz $M^D = M^*$:

$M^* = k_1 Y + k_2 r + k_3, \qquad (7.15)$

po úpravě (vyjádření $Y$):

$\boxed{\,Y = -\frac{k_2}{k_1}\,r + \frac{M^* - k_3}{k_1}\,} \qquad (7.16)$

Tento vztah se nazývá funkce LM (LM schedule), její graf křivka LM. Křivka je rostoucí přímka v rovině $(r, Y)$, neboť $-\frac{k_2}{k_1} > 0$ (čitatel kladný, protože $k_2 < 0$, jmenovatel kladný). Název: Liquidity of Money.

!info Intuice — proč LM roste Vyšší důchod $Y$ → větší transakční poptávka po penězích $L_1 = k_1 Y$ → při pevné nabídce $M^*$ vzniká na trhu peněz přebytek poptávky → úroková míra $r$ musí vzrůst, aby se spekulační poptávka $L_2$ stlačila a trh se vyrovnal. Vztah mezi $Y$ a $r$ na trhu peněz je proto přímý (rostoucí křivka).

Simultánní rovnováha IS-LM

Řešením soustavy dvou lineárních rovnic (7.14) a (7.15) určíme rovnovážný důchod $Y^E$ a rovnovážnou úrokovou míru $r^E$; zpětným dosazením do (7.11) a (7.12) pak rovnovážné investice $I^E$ a rovnovážnou spotřebu $C^E$. Graficky jde o průsečík $E$ křivek $IS$ a $LM$ v rovině $(r, Y)$.

Obrázek 7.6 — Schematický graf v rovině $(r, Y)$. Rostoucí přímka $LM$ a klesající přímka $IS$ se protínají v bodě $E$ se souřadnicemi $r^E$ (na ose $r$) a $Y^E$ (na ose $Y$); tečkované čáry z $E$ kolmé k osám vyznačují polohu rovnovážné úrokové míry a rovnovážného národního důchodu.

!tip Postup — jak najít IS-LM rovnováhu

1. Z trhu zboží (7.13) dosaď funkce $C(Y)$ a $I(r)$ a vyjádři vztah mezi $Y$ a $r$ — dostaneš rovnici IS.
2. Z trhu peněz (7.15) dosaď $L_1$ a $L_2$ a vztah $M^D = M^*$ — dostaneš rovnici LM.
3. Vyřeš soustavu dvou lineárních rovnic o dvou neznámých $Y$ a $r$ — nejsnáze substituční metodou (vyjádři z IS $Y = f(r)$ a dosaď do LM).
4. Zpětně dopočítej $C^E = a\,Y^E + b$ a $I^E = c\,r^E + d$.
5. Ověř: musí platit $Y^E = C^E + I^E$ (rovnováha trhu zboží) i $M^* = k_1 Y^E + k_2 r^E + k_3$ (rovnováha trhu peněz).

Příklad 7.6 (IS-LM)

Pro trh zboží jsou dány:

• spotřeba $C = 0{,}8Y + 100$,
• investice $I = -20r + 1000$.

Pro trh peněz:

• $L_1 = 0{,}1Y$,
• $L_2 = -25r + 2000$,
• nabídka peněz $M^* = 2375$.

Funkce IS — dosazením do (7.13) $Y = C + I$:

$Y = 0{,}8Y + 100 - 20r + 1000,$

tj.

$0{,}2Y + 20r = 1100. \qquad (\text{IS})$

Funkce LM — dosazením do (7.15) $M^* = L_1 + L_2$:

$2375 = 0{,}1Y - 25r + 2000,$

tj.

$0{,}1Y - 25r = 375. \qquad (\text{LM})$

Řešení soustavy. Z (IS) vyjádříme $Y = 5500 - 100r$ a dosadíme do (LM):

$0{,}1(5500 - 100r) - 25r = 375 \;\Longrightarrow\; 550 - 10r - 25r = 375 \;\Longrightarrow\; 35r = 175 \;\Longrightarrow\; r^E = 5.$

Zpětné dosazení:

• $Y^E = 5500 - 100 \cdot 5 = 5500 - 500 = 5000$,
• $C^E = 0{,}8 \cdot 5000 + 100 = 4100$,
• $I^E = -20 \cdot 5 + 1000 = 900$.

Ověření: $C^E + I^E = 4100 + 900 = 5000 = Y^E$. ✓

$\boxed{\,Y^E = 5000, \quad r^E = 5, \quad C^E = 4100, \quad I^E = 900.\,}$

Obrázek 7.7 — Konkrétní numerický příklad IS-LM rovnováhy. Na ose $Y$ jsou vyznačeny hodnoty 3750, 5000, 5500; na ose $r$ hodnoty 5 a 55. Přímka $LM$ stoupá z oblasti nízkých $r$, přímka $IS$ klesá a protíná osu $r$ kolem hodnoty 55. Průsečík $E$ leží v bodě $[r = 5,\ Y = 5000]$.

Ekonomická interpretace — fiskální a monetární politika

Posun křivky IS (fiskální politika). Expanzivní fiskální politika — zvýšení vládních výdajů $G$ nebo snížení daní $T$ — posouvá IS doprava: při dané úrokové míře vzroste rovnovážný důchod trhu zboží. Nová rovnováha $E'$ má vyšší $Y^E$ i vyšší $r^E$ (vyšší $Y$ zvedá poptávku po penězích, což tlačí $r$ nahoru).

Posun křivky LM (monetární politika). Expanzivní monetární politika — zvýšení nabídky peněz $M^*$ národní bankou — posouvá LM doprava/dolů: při daném důchodu je trh peněz v rovnováze při nižší úrokové míře. Nová rovnováha má nižší $r^E$ a vyšší $Y^E$ (nižší $r$ povzbuzuje investice $I(r)$, ty zvedají $Y$).

IS-LM tak dává jednotný rámec pro diskusi dopadu obou typů politik na důchod a úrokovou míru současně.

Klíčové pojmy

• Funkce investic $I(r) = cr + d$ — $c < 0$, $d > 0$; klesající funkce úrokové míry.
• Trh zboží — rovnováha $Y = C + I$, ekvivalentně $I = S$ (investice = úspory).
• Křivka IS (Investment = Savings) — $Y = \frac{c}{1-a}r + \frac{b+d}{1-a}$ (7.14); klesající přímka v rovině $(r, Y)$.
• Trh peněz — rovnováha $M^D = M^S$ při pevné nabídce $M^*$.
• Transakční, opatrnostní, spekulační poptávka — $M^D = L_1 + L_2 = k_1 Y + k_2 r + k_3$.
• Křivka LM (Liquidity of Money) — $M^* = k_1 Y + k_2 r + k_3$ (7.15); rostoucí přímka.
• Simultánní rovnováha — průsečík $E = (r^E, Y^E)$ křivek IS a LM.
• Fiskální politika — nástroje $G$, $T$ posouvající křivku IS.
• Monetární politika — nástroj $M^*$ posouvající křivku LM.

Navigace

• Kurz: Matematická ekonomie
• Přednáška: imek-blok-03
• Nadřazené téma: narodni-duchod — makroekonomické modely C-I, C-I-G, C-I-G-X a úvod do IS-LM
• Související:
  • poptavka-nabidka — paralela rovnovážného bodu (průsečík dvou křivek) v mikroekonomii
  • derivace — matematický základ pro směrnice IS a LM
  • funkce-vice-promennych — dvě neznámé a řešení lineárních soustav