Národní důchod

TL;DR

Kapitola 7 Matematické ekonomie přechází z mikroekonomie do makroekonomie: předmětem zkoumání už není jedna firma, ale celá národní ekonomika popsaná národním důchodem $Y$ . Budují se postupně bohatší modely — C-I (jen spotřeba a investice) → C-I-G (přidá vládu a zdanění) → C-I-G-X (otevře ekonomiku o čistý export) → IS-LM (propojí trh zboží s trhem peněz přes úrokovou míru). V každém modelu hledáme rovnovážný důchod $Y^E$ jako řešení soustavy lineárních rovnic; citlivost $Y^E$ na exogenní veličiny popisují multiplikátory (zejména Keynesův multiplikátor investic $1/(1-a) = 1/MPS$ ).

Úvod — cílové znalosti kapitoly 7

Po prostudování kapitoly by čtenář měl umět:

popsat zjednodušený model národní ekonomiky,
formulovat pojmy funkcí spotřeby a úspor spolu s jejich základními vlastnostmi,
popsat lineární model spotřeby a úspor,
stanovit mezní sklony ke spotřebě a úsporám,
vymezit pojem makroekonomické rovnováhy ve vztahu k agregátní poptávce a nabídce,
vyložit pojmy křivek agregátní poptávky, agregátní nabídky a rovnovážného bodu,
popsat modely $C\text{-}I$ , $C\text{-}I\text{-}G$ , $C\text{-}I\text{-}G\text{-}X$ a $IS\text{-}LM$ národních ekonomik a vypočítat rovnovážné veličiny,
formulovat a stanovit základní makroekonomické multiplikátory.

GNP a národní důchod

Hrubý národní produkt $GNP$ (gross national product) vyjadřuje hodnotu (v peněžních jednotkách) finálních statků a služeb vytvořených ekonomikou během daného období (obvykle jednoho roku). Je základním ukazatelem výkonnosti národní ekonomiky:

GNP = C + I + G + X, \qquad (7.1)

kde

$C$ — výdaje domácností na spotřebu,
$I$ — hrubé domácí investice,
$G$ — vládní výdaje,
$X$ — čistý export.

K měření $GNP$ se užívá důchodová metoda. Jejím hlavním konstrukčním prvkem je národní důchod $Y$ (national income) — součet důchodů všech vrstev domácností, tj. tok důchodů od firem k domácnostem jako platba za pronájem výrobních faktorů.

Pro tvorbu základních makroekonomických modelů se zjednodušeně ztotožňuje hrubý národní produkt s národním důchodem (rovněž s agregátní poptávkou):

GNP \approx Y,

a užívá se společného názvu důchod (income) s označením $Y$ . Domácnosti důchod použijí ke spotřebě zboží a služeb nebo ke tvorbě úspor.

Spotřeba a úspory

Funkce spotřeby a úspor

Jak spotřeba $C$ , tak úspory $S$ závisejí na důchodu $Y$ :

C = C(Y), \qquad S = S(Y).

$C(Y)$ je funkce spotřeby (consumption function), $S(Y)$ je funkce úspor (savings function); jejich grafy se nazývají křivka spotřeby a křivka úspor. Platí základní identita

Y = C + S = C(Y) + S(Y). \qquad (7.2)

Známe-li jednu z funkcí, je tím určena i druhá. Obě funkce jsou rostoucí (s růstem důchodu roste spotřeba i úspory).

Lineární model spotřeby a úspor

Nejjednodušší model předpokládá lineární tvar

C = C(Y) = aY + b, \qquad (7.3)

kde $b > 0$ a $0 < a < 1$ . Směrnice $a = \mathrm{tg}\,\alpha = \Delta C / \Delta Y$ : vzroste-li důchod o jednotku, spotřeba vzroste o méně než 1 (část „dodatečné jednotky“ jde na úspory). Domácnost v tomto modelu nevydává na spotřebu víc, než kolik dostala navíc — pokud by čerpala víc, musela by sáhnout do úspor; toto je reálné zejména pro malé $Y$ .

Dosazením do (7.2) plyne lineární model úspor:

S = Y - C(Y) = Y - (aY + b) = (1 - a)Y - b. \qquad (7.4)

Úspory jsou také lineární a „pomalu rostoucí“ (protože $0 < 1 - a < 1$ ).

Příklad 7.1

Pro spotřebu $C = 0{,}4Y + 10$ jsou úspory

S = Y - C = Y - 0{,}4Y - 10 = 0{,}6Y - 10.

Funkce úspor může nabývat záporných hodnot — pro $Y = 0$ je $S(0) = -b < 0$ ; hovoří se o autonomních úsporách (autonomous savings). Analogicky $C(0) = b$ je autonomní spotřeba (autonomous consumption) — spotřeba při nulovém důchodu krytá dřívějšími úsporami.

Mezní sklon ke spotřebě (MPC) a k úsporám (MPS)

Mezní sklon ke spotřebě $MPC$ (marginal propensity to consume) je derivace spotřeby podle důchodu:

MPC = \frac{\mathrm{d}C}{\mathrm{d}Y}.

Mezní sklon k úsporám $MPS$ (marginal propensity to save) je derivace úspor podle důchodu:

MPS = \frac{\mathrm{d}S}{\mathrm{d}Y}.

Z (7.2) plyne $\frac{\mathrm{d}Y}{\mathrm{d}Y} = \frac{\mathrm{d}C}{\mathrm{d}Y} + \frac{\mathrm{d}S}{\mathrm{d}Y}$ , a tedy

\boxed{MPC + MPS = 1, \qquad MPS = 1 - MPC.} \qquad (7.5)

Pro lineární model $C = aY + b$ vychází $MPC = a$ a $MPS = 1 - a$ — tedy směrnice přímek spotřeby a úspor.

Interpretace diferenciálem. Pro pevné $Y = Y^*$ udává $MPC(Y^*)$ přibližnou změnu spotřeby při jednotkovém přírůstku důchodu:

\Delta C \approx \mathrm{d}C = C'(Y)\,\mathrm{d}Y = MPC(Y)\,\mathrm{d}Y.

Analogicky $\Delta S \approx MPS(Y)\,\mathrm{d}Y$ . Viz derivace a její ekonomická interpretace.

Příklad 7.2

Pro spotřebu $C = 0{,}001Y^2 + 0{,}2Y + 50$ (pro $Y < 400$ ) platí

MPC = \frac{\mathrm{d}C}{\mathrm{d}Y} = 0{,}002Y + 0{,}2,

MPS = 1 - MPC = -0{,}002Y + 0{,}8.

$MPC(100) = 0{,}4$ , $MPS(100) = 0{,}6$ — při $Y = 100$ je větší sklon k úsporám.
$MPC(200) = 0{,}6$ , $MPS(200) = 0{,}4$ — při $Y = 200$ je větší sklon ke spotřebě.
Přesně při $Y = 150$ se oba sklony rovnají ( $MPC = MPS = 0{,}5$ ).

Interpretace: při $Y = 100$ se spotřeba mění $0{,}4$ -krát rychleji než důchod; změní-li se důchod ze $100$ na $101$ , změní se spotřeba přibližně o $0{,}4$ . Skutečná změna $\Delta C = C(101) - C(100) = 0{,}401$ — aproximace diferenciálem je přesná na setiny.

Obecný trend: s růstem důchodu se sklon ke spotřebě zvětšuje.

Makroekonomická rovnováha

Při modelování národní ekonomiky hraje klíčovou roli makroekonomická rovnováha (macroeconomic equilibrium) — stav, kdy se všechny trhy nacházejí v rovnováze: trh zboží a služeb, trh práce a ostatních výrobních faktorů, trh kapitálu a peněz. Významnou součástí je rovnost agregátní poptávky (aggregate demand) a agregátní nabídky (aggregate supply) — obě popisují závislost mezi cenovou hladinou a množstvím, které jsou spotřebitelé ochotni koupit (agregátními výdaji).

Model C-I — uzavřená ekonomika bez vlády

imek-keynesian-kriz

Zadání modelu

Nejjednodušší model uzavřené ekonomiky bez vlády obsahuje jen spotřebu $C$ a investice $I$ . Podmínka rovnováhy:

Y = C + I. \qquad (7.6)

Soustava rovnic

Pro pevně zadané (plánované) investice $I = I^*$ a funkci spotřeby $C = C(Y)$ dostáváme soustavu

\begin{aligned} Y &= C + I^*, \\ C &= C(Y), \end{aligned} \qquad (7.7)

jejímž řešením jsou rovnovážný důchod $Y^E$ a rovnovážná spotřeba $C^E$ .

Výpočet $Y^E$

Pro lineární spotřebu $C = aY + b$ plyne z (7.7) rovnice $Y = aY + b + I^*$ , odkud redukovaný tvar

\boxed{\,Y^E = \frac{b + I^*}{1 - a}.\,}

Příklad 7.3

V modelu $C\text{-}I$ je $C = 0{,}6Y + 10$ a $I = 12 = I^*$ . Soustava

\begin{aligned} Y &= C + 12, \\ C &= 0{,}6Y + 10, \end{aligned}

má řešení $Y^E = 55$ , $C^E = 43$ (a $S^E = 12$ ).

Komentář k přechodu. Model $C\text{-}I$ ignoruje stát. V praxi však stát vybírá daně a provádí vlastní výdaje, což ovlivňuje jak disponibilní důchod domácností, tak celkovou poptávku — přidáním vládního sektoru dostaneme model $C\text{-}I\text{-}G$ .

Model C-I-G — s vládním sektorem

Zadání modelu

Rozšíření modelu $C\text{-}I$ o vládní výdaje $G$ (government expenditure). Podmínka rovnováhy:

Y = C + I + G. \qquad (7.8)

Stát se stává spotřebitelem, jehož „důchod“ získává zdaněním domácností $T$ (taxation). Zdanění bývá:

úměrné důchodu: $T = T(Y) = tY$ ,
fixní: $T = T^*$ ,
kombinované: $T = T^* + tY$ , kde $0 \le t < 1$ .

Disponibilní důchod (disposable income)

Y_D = Y - T

je to, co zbývá domácnostem po zdanění. Spotřeba je pak funkcí disponibilního důchodu: $C = C(Y_D)$ .

Soustava rovnic

Pro pevně zadané $I = I^*$ , $G = G^*$ dostáváme soustavu 4 rovnic o 4 neznámých $Y, C, Y_D, T$ :

\begin{aligned} Y &= C + I^* + G^*, \\ T &= T(Y), \\ C &= C(Y_D), \\ Y_D &= Y - T, \end{aligned} \qquad (7.9)

s řešeními $Y^E, C^E, T^E, Y_D^E$ , případně rovnovážnými úsporami domácností $S^E = Y_D^E - C^E$ .

Příklad 7.4

V modelu $C\text{-}I\text{-}G$ jsou dány $C = 0{,}9\,Y_D + 70$ , $T = 0{,}2Y + 25$ , $I^* = 35$ , $G^* = 20$ . Soustava (7.9):

\begin{aligned} Y &= C + 35 + 20, \\ T &= 0{,}2Y + 25, \\ C &= 0{,}9\,Y_D + 70, \\ Y_D &= Y - T. \end{aligned}

Řešení. Z definice $Y_D = Y - T = Y - (0{,}2Y + 25) = 0{,}8Y - 25$ . Dosazením do spotřeby: $C = 0{,}9(0{,}8Y - 25) + 70 = 0{,}72Y + 47{,}5$ . Dosazením do rovnovážné rovnice $Y = 0{,}72Y + 47{,}5 + 55$ :

0{,}28Y = 102{,}5 \;\Longrightarrow\; Y^E = \tfrac{5125}{14} \doteq 366{,}071.

Rovnovážné veličiny:

$Y^E = \tfrac{5125}{14} \doteq 366{,}071$ ,
$T^E = 0{,}2\,Y^E + 25 = \tfrac{1375}{14} \doteq 98{,}214$ ,
$Y_D^E = Y^E - T^E = \tfrac{3750}{14} \doteq 267{,}857$ ,
$C^E = Y^E - 55 = \tfrac{4355}{14} \doteq 311{,}071$ ,
$S^E = Y_D^E - C^E = -\tfrac{605}{14} \doteq -43{,}214$ (záporné — domácnosti při této kalibraci čerpají úspory).

Komentář k přechodu. Model $C\text{-}I\text{-}G$ stále uvažuje uzavřenou ekonomiku. Reálné ekonomiky dovážejí a vyvážejí zboží — otevření ekonomiky o čistý export $X = B - M$ dává model $C\text{-}I\text{-}G\text{-}X$ .

Model C-I-G-X — otevřená ekonomika

Zadání modelu

Rozšíření o čistý export $X = B - M$ , kde $B$ je hrubý export (brutto export) a $M$ import. Obvyklá konstrukce: import závisí (nejčastěji je úměrný) disponibilnímu důchodu:

M = M(Y_D).

Podmínka rovnováhy:

Y = C + I + G + B - M. \qquad (7.10\text{a})

Soustava rovnic

Pro pevně zadané $I^*, G^*, B^*$ dostáváme soustavu 5 rovnic o 5 neznámých $Y, C, T, Y_D, M$ :

\begin{aligned} C &= C(Y_D), \\ Y_D &= Y - T, \\ T &= T(Y), \\ M &= M(Y_D), \\ Y &= C + I^* + G^* + B^* - M. \end{aligned} \qquad (7.10)

Příklad 7.5

Dáno: $C = 0{,}75\,Y_D + 750$ , $M = 0{,}15\,Y_D$ , $T = 0{,}25Y$ , $I^* = 500$ , $G^* = 150$ , $B^* = 800$ . Soustava:

\begin{aligned} (r1)\ & C = 0{,}75\,Y_D + 750, \\ (r2)\ & Y_D = Y - T, \\ (r3)\ & T = 0{,}25Y, \\ (r4)\ & M = 0{,}15\,Y_D, \\ (r5)\ & Y = C + 500 + 150 + 800 - M. \end{aligned}

Postupná substituce — z (r3) do (r2): $Y_D = Y - 0{,}25Y = 0{,}75Y$ . Dosazením do (r1) a (r4):

(r6)\ C = 0{,}75 \cdot 0{,}75Y + 750 = 0{,}5625Y + 750,

(r7)\ M = 0{,}15 \cdot 0{,}75Y = 0{,}1125Y.

Dosazením do (r5):

Y = 0{,}5625Y + 750 + 500 + 150 + 800 - 0{,}1125Y = 0{,}45Y + 2200.

Odtud $0{,}55Y = 2200$ , tedy $Y^E = 4000$ . Rovnovážné veličiny:

$Y^E = 4000$ ,
$T^E = 0{,}25 \cdot 4000 = 1000$ ,
$Y_D^E = 0{,}75 \cdot 4000 = 3000$ ,
$M^E = 0{,}15 \cdot 3000 = 450$ ,
$C^E = 0{,}75 \cdot 3000 + 750 = 3000$ ,
$S^E = Y_D^E - C^E = 0$ (při této kalibraci domácnosti celý disponibilní důchod spotřebují).

Komentář k přechodu. Modely $C\text{-}I$ , $C\text{-}I\text{-}G$ a $C\text{-}I\text{-}G\text{-}X$ pokládají investice za konstantní. To není realistické — investice závisejí na úrokové míře $r$ . Přidáním trhu peněz a úrokové míry vzniká model IS-LM.

7.4 Multiplikátory pro makroekonomické proměnné

V článku 2.4 (mikroekonomie) byly zavedeny multiplikátory pro mikroekonomické proměnné. Analogické úvahy dovedou k multiplikátorům pro modely makroekonomického typu; role multiplikátorů jako nástrojů pro postižení kvalitativních a kvantitativních charakteristik chování modelů je v makroekonomických analýzách ještě výraznější než v mikroekonomických modelech.

imek-multiplikatorovy-efekt-chain

V modelech $C\text{-}I$ , $C\text{-}I\text{-}G$ , $C\text{-}I\text{-}G\text{-}X$ se vyšetřuje vliv změn exogenních veličin (plánovaných investic $I^*$ , vládních výdajů $G^*$ , exportu $B^*$ ) na změny endogenních rovnovážných veličin ( $Y^E$ , $C^E$ atd.). Tyto citlivosti se vyjadřují multiplikátory — parciálními derivacemi rovnovážných veličin podle exogenních veličin.

Multiplikátory v modelu C-I

Pro lineární spotřebu $C = aY + b$ dává (7.7) redukovaný tvar $Y^E = \dfrac{b + I^*}{1 - a}$ . Parciální derivace:

\frac{\partial Y^E}{\partial a} = \frac{b + I^*}{(1 - a)^2} \qquad \text{(multiplikátor MPC)}

\frac{\partial Y^E}{\partial b} = \frac{1}{1 - a} \qquad \text{(multiplikátor autonomní spotřeby)}

\frac{\partial Y^E}{\partial I^*} = \frac{1}{1 - a} = \frac{1}{MPS} \qquad \text{(multiplikátor investic)}

Multiplikátor autonomní spotřeby se rovná multiplikátoru investic — oba činí $\tfrac{1}{1-a}$ , což je standardní Keynesův multiplikátor. Analogicky se v modelech $C\text{-}I\text{-}G$ a $C\text{-}I\text{-}G\text{-}X$ zavádějí multiplikátory vládních výdajů, zdanění a exportu. Paralela k mikroekonomickým multiplikátorům viz poptávka a nabídka.

IS-LM analýza (stručný přehled)

V modelech $C\text{-}I$ , $C\text{-}I\text{-}G$ a $C\text{-}I\text{-}G\text{-}X$ byly investice konstantní ( $I = I^*$ ). Reálnější je předpoklad, že investice závisejí na úrokové míře $r$ — klesající funkce $I(r) = cr + d$ s $c < 0$ . Přidáním trhu peněz k trhu zboží vzniká model IS-LM se dvěma neznámými $(Y, r)$ a dvěma rovnicemi:

Křivka IS (Investment = Savings) — klesající přímka v rovině $(r, Y)$ , odvozená z rovnováhy trhu zboží $Y = C + I$ .
Křivka LM (Liquidity of Money) — rostoucí přímka, odvozená z rovnováhy trhu peněz $M^D = M^*$ , kde $M^D = k_1 Y + k_2 r + k_3$ (transakční, opatrnostní a spekulační poptávka).

Simultánní rovnovážný bod $E = (r^E, Y^E)$ je průsečík křivek IS a LM; určuje současně rovnovážný důchod a rovnovážnou úrokovou míru. Model slouží jako rámec pro analýzu fiskální politiky (posun IS) a monetární politiky (posun LM).

Pro detailní odvození obou křivek, řešení Příkladu 7.6 ( $Y^E = 5000$ , $r^E = 5$ , $C^E = 4100$ , $I^E = 900$ ) a ekonomickou interpretaci posunů viz IS-LM analýza.

Shrnutí kapitoly 7

Zjednodušený makroekonomický model ztotožňuje $GNP \approx Y$ (národní důchod). Základ: $GNP = C + I + G + X$ (7.1).
Spotřeba a úspory splňují $Y = C + S$ (7.2); lineární model $C = aY + b$ , $S = (1-a)Y - b$ s autonomní spotřebou $b$ a autonomními úsporami $-b$ .
Mezní sklony $MPC = \mathrm{d}C/\mathrm{d}Y$ , $MPS = \mathrm{d}S/\mathrm{d}Y$ , vazba $MPC + MPS = 1$ (7.5). V lineárním modelu $MPC = a$ , $MPS = 1 - a$ .
Modely národní ekonomiky postupně bohatnou:
- $C\text{-}I$ : $Y = C + I$ (uzavřená ekonomika bez vlády), $Y^E = (b + I^*)/(1-a)$ ,
- $C\text{-}I\text{-}G$ : přidává vládu, zdanění $T(Y)$ a disponibilní důchod $Y_D = Y - T$ ,
- $C\text{-}I\text{-}G\text{-}X$ : otevírá ekonomiku čistým exportem $X = B - M$ , kde $M = M(Y_D)$ .
Multiplikátory (parciální derivace rovnovážných veličin podle exogenních) — klíčový multiplikátor investic $\partial Y^E/\partial I^* = 1/(1-a) = 1/MPS$ (Keynesův multiplikátor).
IS-LM analýza doplňuje obraz o trh peněz: investice závisejí na úrokové míře, $IS$ popisuje rovnováhu trhu zboží ( $I = S$ ), $LM$ rovnováhu trhu peněz ( $M^D = M^*$ ); průsečík dává $(Y^E, r^E)$ .

Klíčové pojmy

Hrubý národní produkt (GNP) — $GNP = C + I + G + X$ (7.1).
Národní důchod $Y$ — součet důchodů domácností; v modelech $GNP \approx Y$ .
Funkce spotřeby $C = C(Y)$ — lineární model $C = aY + b$ , $0 < a < 1$ , $b > 0$ .
Funkce úspor $S = S(Y)$ — $Y = C + S$ ; lineární $S = (1-a)Y - b$ .
Autonomní spotřeba/úspory — $C(0) = b$ , $S(0) = -b$ .
Mezní sklon ke spotřebě $MPC = \mathrm{d}C/\mathrm{d}Y$ (v lineárním modelu $MPC = a$ ).
Mezní sklon k úsporám $MPS = \mathrm{d}S/\mathrm{d}Y$ (v lineárním modelu $MPS = 1 - a$ ).
Vztah $MPC + MPS = 1$ (7.5).
Makroekonomická rovnováha — rovnováha agregátní poptávky a nabídky.
Model C-I — uzavřená ekonomika bez vlády; $Y = C + I$ ; $Y^E = (b + I^*)/(1-a)$ .
Model C-I-G — ekonomika s vládou, zdaněním $T(Y)$ , $Y_D = Y - T$ ; $Y = C + I + G$ .
Model C-I-G-X — otevřená ekonomika s čistým exportem $X = B - M$ , importem $M(Y_D)$ ; $Y = C + I + G + B - M$ .
Multiplikátor investic — $\partial Y^E/\partial I^* = 1/(1-a) = 1/MPS$ (Keynesův multiplikátor).
Funkce investic $I(r) = cr + d$ — $c < 0$ , $d > 0$ ; klesající.
Křivka IS — rovnováha na trhu zboží (Investment = Savings); $Y = \frac{c}{1-a}r + \frac{b+d}{1-a}$ (7.14); klesající.
Křivka LM — rovnováha na trhu peněz (Liquidity of Money); $M^* = k_1 Y + k_2 r + k_3$ (7.15); rostoucí.
Transakční, opatrnostní a spekulační poptávka po penězích — $M^D = L_1 + L_2$ .
IS-LM analýza — průsečík $E$ křivek $IS$ a $LM$ určuje $(Y^E, r^E)$ .

Navigace

Kurz: Matematická ekonomie
Přednáška: imek-blok-03
Související:
- is-lm — detailní IS-LM analýza (odvození křivek, Příklad 7.6, fiskální vs monetární politika)
- poptavka-nabidka — paralela mikroekonomických multiplikátorů (multiplikátory rovnovážné ceny a množství)
- prijem-naklady-zisk — mikroekonomické analogie, článek 2.4 o multiplikátorech
- derivace — matematický základ pro $MPC$ , $MPS$ a interpretaci změn diferenciálem