Lagrangeova metoda (vázané extrémy)

Hledáme extrém funkce $f(x, y)$ (resp. $U(Q_1, Q_2)$ apod.) podmíněný rovnicí $g(x, y) = 0$. V matematické ekonomii se používá pro:

• Maximalizaci užitečnosti při rozpočtovém omezení (viz uzitecnost)
• Minimalizaci výdajů při dané úrovni užitečnosti (duální úloha)
• Optimalizaci produkce / nákladů za omezení

Princip

Definujeme Lagrangeovu funkci:

$L(x, y, \lambda) = f(x, y) + \lambda\, g(x, y)$

kde $\lambda$ je Lagrangeův multiplikátor.

Nutná podmínka

Řešíme soustavu:

$L'_x = f'_x + \lambda\, g'_x = 0$$L'_y = f'_y + \lambda\, g'_y = 0$$L'_\lambda = g(x, y) = 0$

Postačující podmínka

$D(x, y, \lambda) = (f''_{xx} + \lambda g''_{xx})(g'_y)^2 + (f''_{yy} + \lambda g''_{yy})(g'_x)^2 - 2(f''_{xy} + \lambda g''_{xy})\, g'_x\, g'_y$

Je-li $[a, b, \lambda_0]$ podezřelý bod:

• $D(a, b, \lambda_0) < 0$ ⇒ maximum vázané podmínkou $g(x, y) = 0$
• $D(a, b, \lambda_0) > 0$ ⇒ minimum vázané podmínkou $g(x, y) = 0$

Význam multiplikátoru

$\lambda = \frac{f'_x}{-g'_x} = \frac{f'_y}{-g'_y}$

$\lambda$ udává:

• konstantní poměr mezi mezním prospěchem a mezním nákladem
• náklady příležitosti (opportunity cost) — o kolik vzroste optimální hodnota $f$, uvolní-li se omezení o jednotku

Alternativní postup

Lze-li z $g(x, y) = 0$ vyjádřit $y = y(x)$ (nebo $x = x(y)$), dosadíme do $f$ a převedeme na extrém funkce jedné proměnné.

Použití v ImeK

Maximalizace užitečnosti

Rozpočtové omezení: $Y^* = P_1^* Q_1 + P_2^* Q_2$.

$L(Q_1, Q_2, \lambda) = U(Q_1, Q_2) + \lambda (Y^* - P_1^* Q_1 - P_2^* Q_2)$

Soustava: $U'_1 = \lambda P_1^*$, $U'_2 = \lambda P_2^*$, $Y^* = P_1^* Q_1 + P_2^* Q_2$. Z prvních dvou: $\tfrac{U'_1}{U'_2} = \tfrac{P_1^*}{P_2^*}$, tj. $MRCS = \tfrac{P_1^*}{P_2^*}$.

Minimalizace výdajů

Podmínka dané užitečnosti $U^* = U(Q_1, Q_2)$.

$L(Q_1, Q_2, \lambda) = P_1^* Q_1 + P_2^* Q_2 + \lambda (U^* - U(Q_1, Q_2))$

Duálně dostaneme Hicksovy poptávkové funkce $Q_i = D_i(P_1, P_2, U)$.

Navigace

• Předchozí: Funkce více proměnných
• Navazující: Poptávka a nabídka
• Aplikace v kurzu: Užitečnost (maximalizace užitečnosti při rozpočtovém omezení), minimalizace výdajů (duální úloha), optimalizace produkce
• Souvislosti: Národní důchod, Optimalizace (IpmrK)