Lagrangeova metoda (vázané extrémy)

Hledáme extrém funkce $f(x, y)$ (resp. $U(Q_1, Q_2)$ apod.) podmíněný rovnicí $g(x, y) = 0$. V matematické ekonomii se používá pro:

• Maximalizaci užitečnosti při rozpočtovém omezení (viz uzitecnost)
• Minimalizaci výdajů při dané úrovni užitečnosti (duální úloha)
• Optimalizaci produkce / nákladů za omezení

Princip

Definujeme Lagrangeovu funkci:

kde $\lambda$ je Lagrangeův multiplikátor.

Nutná podmínka

Řešíme soustavu:

Postačující podmínka

Je-li $[a, b, \lambda_0]$ podezřelý bod:

• $D(a, b, \lambda_0) < 0$ ⇒ maximum vázané podmínkou $g(x, y) = 0$
• $D(a, b, \lambda_0) > 0$ ⇒ minimum vázané podmínkou $g(x, y) = 0$

Význam multiplikátoru

$\lambda$ udává:

• konstantní poměr mezi mezním prospěchem a mezním nákladem
• náklady příležitosti (opportunity cost) — o kolik vzroste optimální hodnota $f$, uvolní-li se omezení o jednotku

Alternativní postup

Lze-li z $g(x, y) = 0$ vyjádřit $y = y(x)$ (nebo $x = x(y)$), dosadíme do $f$ a převedeme na extrém funkce jedné proměnné.

Použití v ImeK

Maximalizace užitečnosti

Rozpočtové omezení: $Y^* = P_1^* Q_1 + P_2^* Q_2$.

Soustava: $U'_1 = \lambda P_1^*$, $U'_2 = \lambda P_2^*$, $Y^* = P_1^* Q_1 + P_2^* Q_2$. Z prvních dvou: $\tfrac{U'_1}{U'_2} = \tfrac{P_1^*}{P_2^*}$, tj. $MRCS = \tfrac{P_1^*}{P_2^*}$.

Minimalizace výdajů

Podmínka dané užitečnosti $U^* = U(Q_1, Q_2)$.

Duálně dostaneme Hicksovy poptávkové funkce $Q_i = D_i(P_1, P_2, U)$.

Navigace

• Předchozí: Funkce více proměnných
• Navazující: Poptávka a nabídka
• Aplikace v kurzu: Užitečnost (maximalizace užitečnosti při rozpočtovém omezení), minimalizace výdajů (duální úloha), optimalizace produkce
• Souvislosti: Národní důchod, Optimalizace (IpmrK)