ImeK — Příprava ke zkoušce: kompletní řešení 8 zadání

Struktura zadání

Každé zadání má 4 úlohy s pevnou strukturou bodování:

Úloha	Body	Charakter
Q1	10 b	Kvalitativní rozhodování — která z 5 funkcí může být TR, AC, nabídka, úspory, …
Q2	20 b	Definice + interpretace mezní veličiny (MPK, MRTS, MRCS, EPA)
Q3	30 b	Optimalizace — max užitečnosti, min výdajů, max produkce, max zisku, rovnováha trhu
Q4	40 b	Komplexní úloha — model C-I, IS-LM, cenová diskriminace, vícefaktorová poptávka, MR/MC firmy

Zadání 1

Z1/Q1 10 b — Které funkce mohou být TR(Q)?

Zadání: Rozhodněte, které z funkcí mohou být funkcí celkového příjmu TR = TR(Q): (a) TR = 200Q − 10Q²; (b) TR = Q(50 − Q²); (c) TR = 20Q + Q²; (d) TR = 1000 − 2Q²; (e) TR = 10Q − Q².

Klíč k úloze: Funkce TR musí splnit dvě podmínky:

TR(0) = 0 — při nulovém prodeji nulový příjem (TR = P·Q).
P = TR/Q je klesající v Q (zákon klesající poptávky — TR pochází z poptávky).

Ekvivalentně: pokud TR = aQ² + bQ (kvadratická), pak parabola musí mít a < 0 a procházet počátkem.

Viz Příjem, náklady, zisk (vzorec 3.1).

Rozbor

	Funkce	TR(0)	P = TR/Q	Verdikt
(a)	200Q − 10Q²	= 0 ✓	200 − 10Q (klesá) ✓	ANO
(b)	Q(50 − Q²) = 50Q − Q³	= 0 ✓	50 − Q² (klesá pro Q > 0) ✓	ANO
(c)	20Q + Q²	= 0 ✓	20 + Q (roste!) ✗	NE
(d)	1000 − 2Q²	= 1000 ✗	—	NE
(e)	10Q − Q²	= 0 ✓	10 − Q (klesá) ✓	ANO

Zdůvodnění (c): P = 20 + Q je rostoucí poptávka, což porušuje zákon klesající poptávky.

Zdůvodnění (d): Při Q = 0 je TR = 1000 ≠ 0 — když nic neprodáme, nemůžeme mít kladný příjem.

Z1/Q2 20 b — Mezní produkt kapitálu MPK

Zadání: Definujte MPK(L,K) a interpretujte MPK(10,100) = 5. Může nabývat záporných hodnot? Pokud ano, interpretujte MPK(20,80) = −5.

Definice

MP_K = \frac{\partial Q}{\partial K}

Parciální derivace produkční funkce $Q = Q(L,K)$ podle kapitálu (při fixní práci). Viz Produkce — produkční funkce, Cobb-Douglas, MRTS (vzorec 5.2).

Interpretace MPK(10,100) = 5

Při zaměstnání L = 10 pracovníků a K = 100 jednotek kapitálu se produkce přibližně zvýší o 5 jednotek, jestliže se kapitál zvýší o 1 jednotku (z 100 na 101) — práce zůstává konstantní.

Slovně: „další stroj (či jednotka kapitálu) přidá v daném bodě cca 5 jednotek produkce."

Záporné hodnoty?

ANO, matematicky možné. Ekonomicky vzácné, ale objevuje se v případech přebytku kapitálu vůči práci — zákon klesajících výnosů přejde do záporu.

Při L=20 a K=80 by další jednotka kapitálu snížila produkci o ~5 jednotek. Ekonomicky: kapitálu je tolik, že další jednotka je kontraproduktivní (např. další stroj, na který nemáme operátora; přeplnění výrobní haly; obsluha rostoucí kapitálové základny zatěžuje stávající práci). Indikuje překročení optimálního poměru K/L — firmě by se vyplatilo kapitál spíše snížit nebo přidat pracovníky.

Z1/Q3 30 b — Maximalizace užitečnosti

Zadání: $U = U(Q_1, Q_2) = Q_1^{1/2} \cdot Q_2^{1/2}$ , $P_1 = 5$ , $P_2 = 10$ , důchod $Y = 500$ . Určete $Q_1, Q_2$ maximalizující užitečnost.

Klíč: Lagrangeova metoda → podmínka MRCS = P₁/P₂ + rozpočtové omezení. Viz Optimalizace spotřebitele (vzorec 6.13–6.14).

Krok 1: MRCS

MU_1 = \tfrac{1}{2} Q_1^{-1/2} Q_2^{1/2}, \qquad MU_2 = \tfrac{1}{2} Q_1^{1/2} Q_2^{-1/2}

\boxed{\; MRCS = \frac{MU_1}{MU_2} = \frac{Q_2}{Q_1} \;}

Krok 2: Podmínka optimality

\frac{Q_2}{Q_1} = \frac{P_1}{P_2} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2} \quad\Longrightarrow\quad Q_2 = \tfrac{1}{2} Q_1

Krok 3: Rozpočtové omezení

5 Q_1 + 10 Q_2 = 500 \;\xRightarrow{Q_2 = Q_1/2}\; 5Q_1 + 10 \cdot \tfrac{Q_1}{2} = 10 Q_1 = 500

Výsledek

\boxed{\; Q_1^* = 50, \quad Q_2^* = 25, \quad U^* = \sqrt{50 \cdot 25} = \sqrt{1250} \approx 35{,}36 \;}

Z1/Q4 40 b — Model C-I

Zadání: Y = C + I, C = aY + b. Najděte (a) redukovaný tvar pro Y; (b) multiplikátory + znaménka; (c) Y^E pro a = 0,2; b = 100; I = 1000; (d) ΔY ≈ při ΔI = 100; (e) ΔY ≈ při da = 0,2; db = 3; dI = 10.

Klíč: Viz Národní důchod (vzorce 7.6–7.7) a sekce 13 přehledu vzorců.

(a) Redukovaný tvar

Y = aY + b + I \;\Longrightarrow\; Y(1-a) = b + I \;\Longrightarrow\; \boxed{Y^E = \frac{b + I}{1 - a}}

(b) Multiplikátory

\frac{\partial Y^E}{\partial a} = \frac{b + I}{(1-a)^2} > 0, \qquad \frac{\partial Y^E}{\partial b} = \frac{1}{1-a} > 0, \qquad \frac{\partial Y^E}{\partial I} = \frac{1}{1-a} > 0

Při běžných předpokladech 0 < a < 1, b > 0, I > 0 jsou všechny multiplikátory kladné — růst libovolného z parametrů zvyšuje rovnovážný důchod.

(c) Rovnovážný důchod

Y^E = \frac{100 + 1000}{1 - 0{,}2} = \frac{1100}{0{,}8} = \boxed{1375}

(d) ΔI = 100

Aproximace (diferenciál):

\Delta Y \approx \frac{\partial Y^E}{\partial I} \cdot \Delta I = \frac{1}{0{,}8} \cdot 100 = 125

Přesně:

Y^E_{\text{nový}} = \frac{100 + 1100}{0{,}8} = 1500 \;\Longrightarrow\; \Delta Y = 1500 - 1375 = 125

(e) Současné změny da = 0,2; db = 3; dI = 10

Aproximace:

\Delta Y \approx \underbrace{\frac{1100}{0{,}64}}_{=1718{,}75} \cdot 0{,}2 + \underbrace{\frac{1}{0{,}8}}_{=1{,}25} \cdot 3 + \underbrace{\frac{1}{0{,}8}}_{=1{,}25} \cdot 10

= 343{,}75 + 3{,}75 + 12{,}5 = \boxed{360}

Přesně (a → 0,4; b → 103; I → 1010):

Y^E_{\text{nový}} = \frac{103 + 1010}{1 - 0{,}4} = \frac{1113}{0{,}6} = 1855 \;\Longrightarrow\; \Delta Y = 480

Zadání 2

Z2/Q1 10 b — Které funkce mohou být nabídka?

Zadání: Rozhodněte, které z funkcí mohou být funkcí nabídky: (a) P = 100 + 0,2Q²; (b) Q = 50 + 0,5P; (c) P = −80 + 2Q; (d) P = 500 − 2Q; (e) Q = 0,5P − 200.

Klíč: Funkce nabídky musí být rostoucí v ceně (zákon rostoucí nabídky). Viz Poptávka, nabídka a tržní rovnováha.

Test: kladná derivace

	Funkce	Derivace	Verdikt
(a)	P = 100 + 0,2Q²	dP/dQ = 0,4Q ≥ 0	ANO
(b)	Q = 50 + 0,5P	dQ/dP = 0,5 > 0	ANO
(c)	P = −80 + 2Q	dP/dQ = 2 > 0	ANO
(d)	P = 500 − 2Q	dP/dQ = −2 < 0	NE (klesá!)
(e)	Q = 0,5P − 200	dQ/dP = 0,5 > 0	ANO

Zdůvodnění (d): P klesá s Q — to není zákon nabídky, ale spíš poptávky.

Poznámka k omezením:

(b) má smysl pro Q ≥ 50 (alternativně P = 2Q − 100 → P ≥ 0 ⟺ Q ≥ 50).
(c) má smysl pro Q ≥ 40 (P = −80 + 2Q ≥ 0 ⟺ Q ≥ 40).
(e) má smysl pro P ≥ 400 (Q ≥ 0).

Tato omezení nezruší platnost — připustí se s reálným cenovým rozpětím.

Z2/Q2 20 b — Křížová cenová elasticita poptávky $E_{P_A}$

Zadání: Definujte $E_{P_A}$ a interpretujte $E_{P_A} = 0{,}5$ .

Definice

Pro vícefaktorovou poptávku $Q = D(P, P_A, Y)$ :

\boxed{\; E_{P_A} = \frac{P_A}{Q} \cdot \frac{\partial Q}{\partial P_A} \;}

Viz Elasticita poptávky a nabídky (vzorec 4.19).

Interpretace $E_{P_A} = 0{,}5$

Vzroste-li cena alternativního zboží $P_A$ o 1 %, poptávané množství základního zboží Q se zvýší přibližně o 0,5 % (ceteris paribus).

Charakter zboží: $E_{P_A} > 0$ → zboží jsou substituty (zdražení alternativy přesouvá poptávku na základní zboží).

Z2/Q3 30 b — Minimalizace výdajů

Zadání: $U = Q_1^{1/4} \cdot Q_2^{1/2}$ , $U^* = 10$ , $P_1 = 5$ , $P_2 = 4$ . Určete $Q_1, Q_2$ minimalizující výdaje.

Klíč: Duální úloha — Lagrange s vazbou $U(Q_1,Q_2) = U^*$ a minimalizujeme $E = P_1 Q_1 + P_2 Q_2$ . V optimu opět MRCS = P₁/P₂. Viz sekce duální úlohy.

Krok 1: MRCS

MU_1 = \tfrac{1}{4} Q_1^{-3/4} Q_2^{1/2}, \qquad MU_2 = \tfrac{1}{2} Q_1^{1/4} Q_2^{-1/2}

MRCS = \frac{MU_1}{MU_2} = \frac{1/4}{1/2} \cdot Q_1^{-1} \cdot Q_2 = \frac{Q_2}{2 Q_1}

Krok 2: Podmínka optimality

\frac{Q_2}{2 Q_1} = \frac{5}{4} \;\Longrightarrow\; Q_2 = \tfrac{5}{2} Q_1

Krok 3: Vazba užitečnosti

Q_1^{1/4} \cdot \left(\tfrac{5}{2} Q_1\right)^{1/2} = 10

Q_1^{1/4} \cdot \sqrt{\tfrac{5}{2}} \cdot Q_1^{1/2} = Q_1^{3/4} \cdot \sqrt{\tfrac{5}{2}} = 10

Q_1^{3/4} = \frac{10}{\sqrt{5/2}} = 10\sqrt{\tfrac{2}{5}} = 2\sqrt{10}

Q_1 = (2\sqrt{10})^{4/3} = 2^{4/3} \cdot 10^{2/3} = 4 \cdot 5^{2/3}

Výsledek (přesně)

\boxed{\; Q_1^* = 4 \cdot 5^{2/3} \approx 11{,}696, \quad Q_2^* = 10 \cdot 5^{2/3} \approx 29{,}240 \;}

\boxed{\; E^* = 5 \cdot Q_1^* + 4 \cdot Q_2^* = 60 \cdot 5^{2/3} \approx 175{,}44 \;}

Ověření vazby: $Q_1^{*\,1/4} \cdot Q_2^{*\,1/2} = 11{,}696^{0{,}25} \cdot 29{,}240^{0{,}5} \approx 1{,}849 \cdot 5{,}408 \approx 10{,}00$ ✓

Z2/Q4 40 b — Cenová diskriminace

Zadání: $P_1 = 300 - Q_1$ (domácí), $P_2 = 200 - 0{,}5 Q_2$ (zahraniční), $TC = 5000 + 100Q$ , $Q = Q_1 + Q_2$ . Stanovte ceny pro max zisku (a) s diskriminací; (b) bez diskriminace; (c) porovnejte.

Klíč: MR_i = MC pro každý segment při diskriminaci; MR(Q) = MC pro tržní poptávku bez diskriminace. Viz Příjem, náklady, zisk (Příklad 3.25 — totožná úloha v knize Mezník).

(a) S cenovou diskriminací

Mezní příjmy a mezní náklady:

MR_1 = 300 - 2 Q_1, \quad MR_2 = 200 - Q_2, \quad MC = 100

Trh 1: $300 - 2 Q_1 = 100 \;\Longrightarrow\; Q_1 = 100, \; P_1 = 200$ Trh 2: $200 - Q_2 = 100 \;\Longrightarrow\; Q_2 = 100, \; P_2 = 150$

Zisk:

Q = 200, \; TR = 200 \cdot 100 + 150 \cdot 100 = 35\,000, \; TC = 5000 + 100 \cdot 200 = 25\,000

\boxed{\; PR^{(a)} = 35\,000 - 25\,000 = 10\,000 \;}

(b) Bez cenové diskriminace

Tržní poptávka (jediná cena P pro oba segmenty). Z inverzí:

Q_1 = 300 - P, \qquad Q_2 = \frac{200 - P}{0{,}5} = 400 - 2P

Pro P ≤ 200 (jinak Q₂ = 0):

Q = Q_1 + Q_2 = 700 - 3P \;\Longrightarrow\; P = \frac{700 - Q}{3}

Mezní příjem:

TR = P \cdot Q = \frac{700 Q - Q^2}{3}, \quad MR = \frac{700 - 2Q}{3}

MR = MC: $\frac{700 - 2Q}{3} = 100 \;\Longrightarrow\; 700 - 2Q = 300 \;\Longrightarrow\; Q = 200$

P = \frac{500}{3} \approx 166{,}67

Zisk:

TR = \tfrac{500}{3} \cdot 200 = \tfrac{100\,000}{3} \approx 33\,333{,}33; \quad TC = 25\,000

\boxed{\; PR^{(b)} = \tfrac{25\,000}{3} \approx 8\,333{,}33 \;}

(c) Porovnání

\Delta PR = PR^{(a)} - PR^{(b)} = 10\,000 - 8\,333{,}33 = \boxed{1\,666{,}67}

Cenová diskriminace přináší firmě o 1 666,67 vyšší zisk. Důvod: v (a) může firma zachytit přebytek spotřebitele zvlášť na každém trhu — na elastičtějším trhu (zahraniční, sklon −0,5) dá nižší cenu, na neelastičtějším (domácí, sklon −1) vyšší. Bez diskriminace je nucena dát „kompromisní" cenu, která je na žádném trhu optimální.

Zadání 3

Z3/Q1 10 b — Které funkce mohou být AC(Q)?

Zadání: (a) AC = 100/Q + 0,1Q; (b) AC = 50/Q − 0,1; (c) AC = −1000/Q + Q; (d) AC = −1000/Q − 2Q; (e) AC = 200/Q + 0,5 + 0,001Q.

Klíč: Průměrné náklady musí splnit AC > 0 pro všechna Q > 0 (jinak by TC = AC·Q bylo záporné, což nemá smysl). Viz sekce Náklady firmy.

Rozbor

	Funkce	Test	Verdikt
(a)	100/Q + 0,1Q	TC = 100 + 0,1Q² > 0; FC = 100; vždy >0 ✓	ANO
(b)	50/Q − 0,1	pro $Q \to \infty$ : AC → −0,1 < 0 ✗	NE
(c)	−1000/Q + Q	pro Q = 1: AC = −999 < 0 ✗	NE
(d)	−1000/Q − 2Q	vždy záporné ✗	NE
(e)	200/Q + 0,5 + 0,001Q	TC = 200 + 0,5Q + 0,001Q² > 0; FC = 200 ✓	ANO

Numerické ověření (b): AC(1000) = 50/1000 − 0,1 = 0,05 − 0,1 = −0,05 < 0. Skutečně nesplňuje.

Z3/Q2 20 b — MRCS(L,K) — vlastně MRCS(Q₁,Q₂)

Zadání: Definujte mezní míru komoditní substituce MRCS a interpretujte MRCS(100,200) = 5.

Definice

\boxed{\; MRCS = \frac{MU_1}{MU_2} = \frac{\partial U / \partial Q_1}{\partial U / \partial Q_2} \;}

Viz Užitečnost (vzorec 6.9).

Interpretace MRCS(100,200) = 5

Na svazku $(Q_1 = 100, Q_2 = 200)$ je spotřebitel ochoten obětovat 5 jednotek $Q_2$ za získání 1 jednotky $Q_1$ navíc, aby zachoval stejnou užitečnost (zůstal na téže indiferenční křivce).

Geometricky: sklon indiferenční křivky v daném bodě je $-MRCS = -5$ .

Z3/Q3 30 b — Maximalizace produkce a produktivity

Zadání: $Q = -0{,}2 L^3 + 12 L^2$ . (a) Max produktivity práce + odpovídající produkce na pracovníka. (b) Ověření principu max $AP_L$ . (c) Max produkce + maximum.

Klíč: Viz Produkce (sekce „Princip maximalizace průměrného produktu práce", úloha 5.5 v knize).

(a) Max produktivity práce ( $AP_L$ )

AP_L = \frac{Q}{L} = -0{,}2 L^2 + 12 L

AP_L' = -0{,}4 L + 12 = 0 \;\Longrightarrow\; L = 30

$AP_L'' = -0{,}4 < 0$ → maximum.

AP_L(30) = -0{,}2 \cdot 900 + 12 \cdot 30 = -180 + 360 = 180

\boxed{\; L = 30 \text{ pracovníků}, \; AP_L(30) = 180 \text{ jednotek/pracovníka} \;}

(b) Ověření principu MP_L = AP_L v max AP_L

MP_L = Q'(L) = -0{,}6 L^2 + 24 L

MP_L(30) = -0{,}6 \cdot 900 + 24 \cdot 30 = -540 + 720 = 180 = AP_L(30) \;\checkmark

Princip platí: v bodě maxima průměrného produktu práce se mezní produkt rovná průměrnému.

(c) Max produkce

Q'(L) = -0{,}6 L^2 + 24 L = L(-0{,}6 L + 24) = 0 \;\Longrightarrow\; L = 0 \text{ nebo } L = 40

$Q''(40) = -1{,}2 \cdot 40 + 24 = -24 < 0$ → maximum.

Q(40) = -0{,}2 \cdot 64\,000 + 12 \cdot 1\,600 = -12\,800 + 19\,200 = 6\,400

\boxed{\; L = 40 \text{ pracovníků}, \; Q_{\max} = 6\,400 \text{ jednotek} \;}

Z3/Q4 40 b — IS-LM analýza

Zadání: Y = mr + n (IS), Y = pr + q (LM); m = −50, n = 2000, p = 200, q = 1000. (a) Redukovaný tvar pro r. (b) Multiplikátory. (c) Vypočtěte $Y^E, r^E$ . (d) Δr ≈ při dp = −20, dm = +10; porovnejte s přesným.

Klíč: Viz IS-LM analýza.

(a) Redukovaný tvar

Z $mr + n = pr + q$ :

\boxed{\; r^E = \frac{q - n}{m - p} \;}

(Obecně: $Y^E = m \cdot r^E + n = \frac{mq - np}{m - p}$ .)

(b) Multiplikátory pro r

\frac{\partial r}{\partial m} = -\frac{q - n}{(m-p)^2}, \qquad \frac{\partial r}{\partial n} = -\frac{1}{m-p}, \qquad \frac{\partial r}{\partial p} = \frac{q - n}{(m-p)^2}, \qquad \frac{\partial r}{\partial q} = \frac{1}{m-p}

(c) Rovnovážné hodnoty

r^E = \frac{1000 - 2000}{-50 - 200} = \frac{-1000}{-250} = \boxed{4}

Y^E = -50 \cdot 4 + 2000 = -200 + 2000 = \boxed{1800}

Kontrola přes LM: $200 \cdot 4 + 1000 = 1800$ ✓

(d) Změna při dp = −20, dm = +10

Multiplikátory v hladině (c): $(m - p)^2 = (-250)^2 = 62\,500$

\frac{\partial r}{\partial m} = -\frac{-1000}{62\,500} = 0{,}016, \qquad \frac{\partial r}{\partial p} = \frac{-1000}{62\,500} = -0{,}016

Aproximace:

\Delta r \approx 0{,}016 \cdot 10 + (-0{,}016) \cdot (-20) = 0{,}16 + 0{,}32 = \boxed{0{,}48}

Přesně (m₁ = −40, p₁ = 180):

r^E_{\text{nový}} = \frac{1000 - 2000}{-40 - 180} = \frac{-1000}{-220} = \frac{50}{11} \approx 4{,}5455

\Delta r_{\text{přesné}} = 4{,}5455 - 4 = 0{,}5455

Porovnání: aproximace 0,48 vs. přesných 0,5455 → chyba ~12 %. Důvod: změny dp = −20 a dm = +10 jsou poměrně malé proti $|m - p| = 250$ (cca 4–8 %), ale druhá derivace přes $(m-p)^2$ stále působí. Pro čistě informativní odhad směru a řádu změny je aproximace dobrá.

Zadání 4

Z4/Q1 10 b — Páry funkcí poptávky ve dvoukomoditním trhu

Zadání: Pro 5 dvojic funkcí (Q₁, Q₂) rozhodněte, zda jde o poptávku, a v kladném případě určete typ vztahu (substituty/komplementy).

Klíč: Pro $Q_i = a_i + b_i P_1 + c_i P_2$ musí platit:

a₁, a₂ > 0 (kladné množství při nulových cenách);
b₁, c₂ < 0 (vlastní cenové koeficienty — zákon klesající poptávky);
substituty: c₁ > 0, b₂ > 0;
komplementy: c₁ < 0, b₂ < 0.

Viz Dvoukomoditní trh (vzorec 2.6).

Rozbor

	Funkce	a₁,a₂	b₁,c₂ (vlastní)	c₁,b₂ (zkřížené)	Verdikt
(a)	Q₁ = 10 − 2P₁ + P₂; Q₂ = 5 + 2P₁ − 2P₂	10, 5 ✓	−2, −2 ✓	+1, +2 → substituty	ANO – substituty
(b)	Q₁ = 3 − P₁ − P₂; Q₂ = 4 + P₁ + P₂	3, 4 ✓	−1, +1 ✗	—	NE
(c)	Q₁ = 6 − P₁ − P₂; Q₂ = 7 − P₁ − P₂	6, 7 ✓	−1, −1 ✓	−1, −1 → komplementy	ANO – komplementy
(d)	Q₁ = −8 − P₁ + P₂; Q₂ = 2 + P₁ − P₂	−8 ✗	—	—	NE
(e)	Q₁ = 3 + P₁ + 4P₂; Q₂ = 3 + 5P₁ + P₂	3, 3 ✓	+1, +1 ✗	—	NE

Zdůvodnění (b): $\partial Q_2 / \partial P_2 = +1 > 0$ — Q₂ roste s vlastní cenou, porušuje zákon klesající poptávky.

Zdůvodnění (d): Při $P_1 = P_2 = 0$ je $Q_1 = -8 < 0$ — záporné množství.

Zdůvodnění (e): Obě vlastní cenové derivace jsou kladné (Q₁ roste s P₁, Q₂ s P₂) — obě porušují zákon klesající poptávky.

Z4/Q2 20 b — MRCS interpretace

Zadání identické s Z3/Q2 — viz výše. Definice $MRCS = MU_1/MU_2$ , interpretace MRCS(100,200) = 5: spotřebitel ochotně obětuje 5 jednotek $Q_2$ za 1 jednotku $Q_1$ navíc při zachované užitečnosti.

Z4/Q3 30 b — Firma s dvěma zbožími v dokonalé konkurenci

Zadání: $TC = 2 Q_1^2 + Q_1 Q_2 + 2 Q_2^2$ ; ceny $P_1^*, P_2^*$ pevně dány. (a) Funkce $Q_1(P_1, P_2), Q_2(P_1, P_2)$ pro max zisk. (b) Pro $P_1^* = 12, P_2^* = 18$ vypočtěte zisk.

Klíč: V dokonalé konkurenci $TR = P_1 Q_1 + P_2 Q_2$ . Maximalizace zisku $PR = TR - TC$ přes obě množství: nutné podmínky $\partial PR / \partial Q_1 = 0$ , $\partial PR / \partial Q_2 = 0$ . Viz Funkce více proměnných a prijem-naklady-zisk.

(a) Optimální množství

PR = P_1 Q_1 + P_2 Q_2 - (2 Q_1^2 + Q_1 Q_2 + 2 Q_2^2)

Nutné podmínky:

\frac{\partial PR}{\partial Q_1} = P_1 - 4 Q_1 - Q_2 = 0 \;\Longrightarrow\; 4 Q_1 + Q_2 = P_1

\frac{\partial PR}{\partial Q_2} = P_2 - Q_1 - 4 Q_2 = 0 \;\Longrightarrow\; Q_1 + 4 Q_2 = P_2

Determinant soustavy: $4 \cdot 4 - 1 \cdot 1 = 15$

\boxed{\; Q_1 = \frac{4 P_1 - P_2}{15}, \qquad Q_2 = \frac{4 P_2 - P_1}{15} \;}

Postačující podmínky (Hessián):

H_{11} = -4 < 0, \quad H_{22} = -4, \quad H_{12} = -1, \quad \det H = 16 - 1 = 15 > 0 \;\Longrightarrow\; \text{maximum}

(b) Pro $P_1^* = 12, P_2^* = 18$

Q_1^* = \frac{48 - 18}{15} = \frac{30}{15} = 2, \qquad Q_2^* = \frac{72 - 12}{15} = \frac{60}{15} = 4

PR^* = 12 \cdot 2 + 18 \cdot 4 - (2 \cdot 4 + 2 \cdot 4 + 2 \cdot 16) = 24 + 72 - 48 = \boxed{48}

Z4/Q4 40 b — IS-LM (totožné se Z3/Q4)

Stejné parametry, stejný postup, stejné výsledky:

r^E = 4, \quad Y^E = 1800, \quad \Delta r \approx 0{,}48 \text{ (přesně 0,5455)}

Viz Z3/Q4 výše.

Zadání 5

Z5/Q1 10 b — AC funkce (totožné se Z3/Q1)

(a) ANO; (b) NE; (c) NE; (d) NE; (e) ANO. Viz Z3/Q1.

Z5/Q2 20 b — MRTS(L,K)

Zadání: Definujte mezní míru technické substituce a interpretujte MRTS(10,100) = 15.

Definice

\boxed{\; MRTS = \frac{MP_L}{MP_K} = \frac{\partial Q / \partial L}{\partial Q / \partial K} \;}

Viz Produkce (vzorec 5.14).

Interpretace MRTS(10,100) = 15

Na hladině $(L = 10, K = 100)$ lze 1 jednotku práce nahradit přibližně 15 jednotkami kapitálu se zachovanou produkcí (pohyb po izokvantě).

Ekvivalentně: poklesne-li práce o 1 pracovníka, musíme pro udržení produkce přidat ~15 jednotek kapitálu.

Geometricky: sklon izokvanty v daném bodě je $-MRTS = -15$ .

Z5/Q3 30 b — Max produkce (totožné se Z3/Q3)

(a) $L = 30, AP_L = 180$ ; (b) MP_L(30) = 180 = AP_L(30) ✓; (c) $L = 40, Q_{\max} = 6\,400$ .

Viz Z3/Q3.

Z5/Q4 40 b — Firma s pevnými MC a lineárním MR

Zadání: $MC = 20$ , $FC = 120$ , $MR = 100 - 20Q$ . (a) TR a poptávka. (b) TC. (c) Max TR + maximum. (d) Body zvratu. (e) Max zisku + maximum. (f) Náčrt.

Klíč: Integrace MR a MC + standardní úkony prijem-naklady-zisk.

(a) TR a D(Q)

TR = \int MR \, dQ = \int (100 - 20Q) \, dQ = 100Q - 10Q^2 \quad \text{(konstanta = 0, neboť } TR(0) = 0)

P = D(Q) = \frac{TR}{Q} = \boxed{100 - 10 Q}

(b) TC

TC = \int MC \, dQ + FC = 20 Q + 120

(c) Max TR

$MR = 0$ : $100 - 20Q = 0 \Rightarrow Q_1 = 5$

TR_{\max} = 100 \cdot 5 - 10 \cdot 25 = \boxed{250}

(d) Body zvratu (PR = 0)

PR = TR - TC = 100Q - 10Q^2 - 20Q - 120 = -10 Q^2 + 80 Q - 120

PR = 0 \;\Longleftrightarrow\; Q^2 - 8Q + 12 = 0 \;\Longrightarrow\; Q = \frac{8 \pm 4}{2}

\boxed{\; Q_A = 2, \quad Q_B = 6 \;}

(e) Max zisku

$MR = MC$ : $100 - 20Q = 20 \Rightarrow Q_2 = 4$

PR(4) = -10 \cdot 16 + 80 \cdot 4 - 120 = -160 + 320 - 120 = \boxed{40}

(f) Náčrt

Klíčové body, které by měly být v grafu:

Křivka	Tvar	Klíčové body
TR(Q)	parabola obrácená dolů	kořeny $Q = 0, 10$ ; vrchol $(5, 250)$
TC(Q)	rostoucí přímka	průsečík s osou: $(0, 120)$ ; sklon 20
PR(Q)	parabola obrácená dolů	kořeny $Q = 2, 6$ (body zvratu); vrchol $(4, 40)$
MR(Q)	klesající přímka	průsečík s osou: $(0, 100)$ ; sklon −20; protíná osu $Q$ v bodě $Q = 5$
MC(Q)	konstanta	vodorovná přímka v $P = 20$
D(Q)	klesající přímka	sklon −10 (poloviční oproti MR)

Vyznačit: $Q_1 = 5$ (max TR — tam, kde MR protíná osu Q); $Q_A = 2, Q_B = 6$ (body zvratu — TR = TC); $Q_2 = 4$ (max zisku — průsečík MR a MC).

Zadání 6

Z6/Q1 10 b — TR funkce

Zadání: (a) TR = 100 − 3Q; (b) TR = 12Q − Q²; (c) TR = 1000 − Q²; (d) TR = Q(100 − 2Q²); (e) TR = 10Q + Q².

Klíč: Stejný jako Z1/Q1 — TR(0) = 0 a P klesající.

	Funkce	TR(0)	P	Verdikt
(a)	100 − 3Q	= 100 ✗	—	NE
(b)	12Q − Q²	= 0 ✓	12 − Q (klesá) ✓	ANO
(c)	1000 − Q²	= 1000 ✗	—	NE
(d)	Q(100 − 2Q²) = 100Q − 2Q³	= 0 ✓	100 − 2Q² (klesá pro Q>0) ✓	ANO
(e)	10Q + Q²	= 0 ✓	10 + Q (roste) ✗	NE

Z6/Q2 20 b — MPK(20,900) = 15

Definice (jako Z1/Q2): $MP_K = \partial Q / \partial K$ .

Interpretace: Na hladině $L = 20$ pracovníků, $K = 900$ jednotek kapitálu se produkce přibližně zvýší o 15 jednotek, jestliže se kapitál zvýší o 1 jednotku (z 900 na 901), při neměnné práci. Další jednotka kapitálu přidá v daném bodě ~15 jednotek produkce.

Z6/Q3 30 b — Mezní náklady $MC = 50 - 10Q + Q^2$ , FC = 10

Zadání: (a) Stanovte TC a rychlost změny TC při Q = 20. (b) Min MC. (c) ΔMC při Q: 20→30, porovnejte s přesným.

(a) TC a rychlost při Q = 20

TC = \int MC \, dQ + FC = \int (50 - 10Q + Q^2) \, dQ + 10 = 50Q - 5Q^2 + \frac{Q^3}{3} + 10

Rychlost změny TC = mezní náklady = MC(Q):

TC'(20) = MC(20) = 50 - 200 + 400 = \boxed{250}

Při produkci 20 jednotek se celkové náklady mění rychlostí 250 peněžních jednotek na další jednotku produkce.

(Pro úplnost: $TC(20) = 1000 - 2000 + 8000/3 + 10 \approx 1\,676{,}67$ .)

(b) Min MC

MC' = -10 + 2Q = 0 \;\Longrightarrow\; Q^* = 5

$MC''(5) = 2 > 0$ → minimum.

MC(5) = 50 - 50 + 25 = \boxed{25}

(c) ΔMC při Q: 20 → 30

Aproximace (diferenciál):

\Delta MC \approx MC'(Q) \cdot \Delta Q = (-10 + 2 \cdot 20) \cdot 10 = 30 \cdot 10 = 300

Přesně:

MC(30) = 50 - 300 + 900 = 650; \quad MC(20) = 250

\Delta MC_{\text{přesné}} = 650 - 250 = 400

Porovnání: aproximace 300 vs. přesných 400 → chyba 25 %. Důvod: $\Delta Q = 10$ je velký krok, MC je kvadratická (nelineární), takže lineární aproximace systematicky podhodnocuje (druhá derivace je kladná).

Z6/Q4 40 b — Model C-I (jako Z1/Q4 s odlišným (e))

(a)–(d) totožné se Z1/Q4:

$Y^E = (b + I)/(1 - a)$
∂Y/∂a > 0, ∂Y/∂b > 0, ∂Y/∂I > 0
(c) $Y^E = 1375$
(d) ΔI = 100 → ΔY = 125 (přesné = přibližné, lineární v I)

(e) da = −0,1; db = 2; dI = 10

Aproximace (multiplikátory v hladině (c) jako u Z1/Q4):

\Delta Y \approx 1718{,}75 \cdot (-0{,}1) + 1{,}25 \cdot 2 + 1{,}25 \cdot 10

= -171{,}875 + 2{,}5 + 12{,}5 = \boxed{-156{,}875}

Přesně (a → 0,1; b → 102; I → 1010):

Y^E_{\text{nový}} = \frac{102 + 1010}{1 - 0{,}1} = \frac{1112}{0{,}9} \approx 1\,235{,}56

\Delta Y_{\text{přesné}} = 1\,235{,}56 - 1375 \approx -139{,}44

Porovnání: aproximace −156,875 vs. přesných −139,44 → chyba ~12 %. Změna $da = -0{,}1$ je menší než v Z1/Q4 (tam $da = +0{,}2$ ), proto i chyba aproximace je menší.

Zadání 7

Z7/Q1 10 b — Funkce úspor

Zadání: (a) S = 0,3Y − 50; (b) S = 2,5Y − 20; (c) S = 0,3Y + 50; (d) S = −0,3Y − 150; (e) S = 0,03Y − 100.

Klíč: Lineární model úspor je $S = (1 - a)Y - b$ kde 0 < a < 1, b > 0. Tedy:

MPS = 1 − a ∈ (0, 1) (sklon kladný, ale menší než 1);
autonomní úspory $S(0) = -b < 0$ (záporné, neboť b > 0).

Viz Spotřeba a úspory (vzorec 7.4).

Rozbor

	Funkce	MPS	S(0)	Verdikt
(a)	0,3Y − 50	0,3 ∈ (0,1) ✓	−50 < 0 ✓	ANO
(b)	2,5Y − 20	2,5 > 1 ✗	—	NE
(c)	0,3Y + 50	0,3 ✓	+50 > 0 ✗	NE
(d)	−0,3Y − 150	−0,3 < 0 ✗	—	NE
(e)	0,03Y − 100	0,03 ∈ (0,1) ✓	−100 < 0 ✓	ANO

Zdůvodnění (b): MPS = 2,5 by znamenalo MPC = 1 − 2,5 = −1,5 — záporná spotřeba na další korunu důchodu, ekonomicky nesmysl.

Zdůvodnění (c): Kladné autonomní úspory implikují $b < 0$ , tj. autonomní spotřeba C(0) = b < 0 — také nesmysl.

Zdůvodnění (d): Záporné MPS znamená, že s růstem důchodu úspory klesají — porušuje princip „úspory rostou s důchodem".

Z7/Q2 20 b — MRCS (zadání píše MRTS, ale formulace je MRCS)

Definice + interpretace stejné jako Z3/Q2.

Vzorec: $MRCS = MU_1/MU_2$ .

MRCS(100,200) = 5: spotřebitel je ochoten obětovat 5 jednotek $Q_2$ za 1 jednotku $Q_1$ navíc se zachovanou užitečností.

Z7/Q3 30 b — Tržní rovnováha s nelineární nabídkou

Zadání: $D(Q) = 18 - 2Q$ , $S(Q) = 3 + Q^2$ . (a) $Q^E$ + náčrt; (b) elasticita poptávky při $P = 10$ ; (c) $Q^*$ pro max TR; (d) přebytek spotřebitele a výrobce při rovnovážném množství.

(a) Rovnovážné množství

18 - 2Q = 3 + Q^2 \;\Longrightarrow\; Q^2 + 2Q - 15 = 0

Q = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 60}}{2} = \frac{-2 \pm 8}{2} \;\Longrightarrow\; Q = 3 \text{ nebo } Q = -5

\boxed{\; Q^E = 3, \quad P^E = 18 - 6 = 12 \;}

Náčrt: D je klesající přímka z (0, 18) do (9, 0); S je rostoucí parabola z (0, 3); průsečík v $E[3, 12]$ .

(b) Elasticita poptávky při P = 10

Inverze: $Q = (18 - P)/2 = 9 - P/2$ , $\frac{dQ}{dP} = -\frac{1}{2}$ . Při $P = 10$ : $Q = 4$ .

E = -\frac{P}{Q} \cdot \frac{dQ}{dP} = -\frac{10}{4} \cdot \left(-\tfrac{1}{2}\right) = \boxed{1{,}25}

Klasifikace: $E > 1$ → elastická poptávka. Snížení ceny zvýší celkový příjem.

(c) Max TR

TR = P \cdot Q = (18 - 2Q) Q = 18Q - 2 Q^2

MR = 18 - 4Q = 0 \;\Longrightarrow\; Q^* = 4{,}5

TR_{\max} = 18 \cdot 4{,}5 - 2 \cdot 20{,}25 = 81 - 40{,}5 = \boxed{40{,}5}

(d) Přebytky při $Q^E = 3, P^E = 12$

Přebytek spotřebitele:

CS = \int_0^3 (18 - 2Q) \, dQ - 12 \cdot 3 = \left[18Q - Q^2\right]_0^3 - 36 = (54 - 9) - 36 = \boxed{9}

Přebytek výrobce:

PS = 12 \cdot 3 - \int_0^3 (3 + Q^2) \, dQ = 36 - \left[3Q + \frac{Q^3}{3}\right]_0^3 = 36 - (9 + 9) = \boxed{18}

Geometricky:

CS = plocha mezi křivkou $D(Q)$ (klesající přímka shora) a vodorovnou linií $P = 12$ na intervalu $[0, 3]$ .
PS = plocha mezi vodorovnou linií $P = 12$ (shora) a křivkou $S(Q)$ (rostoucí parabola zdola) na intervalu $[0, 3]$ .

Celkový blahobyt $W = CS + PS = 27$ — čistý přínos trhu pro obě strany dohromady.

Z7/Q4 40 b — Vícefaktorová poptávka po kašmírových ponožkách

Zadání: $Q = 1000 - 400P + 200 P_A + 0{,}5 Y$ (Q = páry kašmírových; P = cena kašmír; $P_A$ = cena vlna; Y = důchod). $P = 10, P_A = 5, Y = 20\,000$ . (a) Q. (b) E_P, E_PA, E_Y + charakter. (c) Substitut/komplement, normální/podřadné. (d) ΔQ % při ΔP% = +1, ΔPA% = −3, ΔY% = +20.

Klíč: Vícefaktorové elasticity (vzorce 4.18–4.20) + procentní aproximace (4.21).

(a) Q na hladině

Q = 1000 - 400 \cdot 10 + 200 \cdot 5 + 0{,}5 \cdot 20\,000 = 1000 - 4000 + 1000 + 10\,000 = \boxed{8\,000}

(b) Elasticity

Cenová:

\frac{\partial Q}{\partial P} = -400, \quad E_P = -\frac{P}{Q} \cdot \frac{\partial Q}{\partial P} = -\frac{10}{8000} \cdot (-400) = \frac{4000}{8000} = \boxed{0{,}5}

→ neelastická (0 < E_P < 1).

Křížově-cenová:

\frac{\partial Q}{\partial P_A} = +200, \quad E_{P_A} = \frac{P_A}{Q} \cdot \frac{\partial Q}{\partial P_A} = \frac{5}{8000} \cdot 200 = \boxed{0{,}125}

Důchodová:

\frac{\partial Q}{\partial Y} = +0{,}5, \quad E_Y = \frac{Y}{Q} \cdot \frac{\partial Q}{\partial Y} = \frac{20\,000}{8000} \cdot 0{,}5 = \boxed{1{,}25}

(c) Charakterizace

$E_{P_A} = 0{,}125 > 0$ → vlna je substitut kašmíru (zdraží-li se vlněné ponožky, lidé kupují víc kašmírových).
$E_Y = 1{,}25 > 0$ → kašmír je normální zboží. Navíc $E_Y > 1$ → luxusní zboží (s růstem důchodu roste spotřeba rychleji než důchod).

(d) ΔQ % při současných změnách

Vzorec: $\Delta Q\% \approx -E_P \cdot \Delta P\% + E_{P_A} \cdot \Delta P_A\% + E_Y \cdot \Delta Y\%$

\Delta Q\% \approx -0{,}5 \cdot 1 + 0{,}125 \cdot (-3) + 1{,}25 \cdot 20

= -0{,}5 - 0{,}375 + 25 = \boxed{+24{,}125 \%}

Interpretace: dominuje důchodový efekt — 20 % růst důchodu krát luxusní elasticita 1,25 = 25 procentních bodů růstu Q. Cenové efekty (zdražení kašmíru, zlevnění vlny) sotva tlumí o necelé procento.

Zadání 8

Z8/Q1 10 b — Funkce úspor

Zadání: (a) S = 0,2Y − 50; (b) S = 50 − 0,3Y; (c) S = 1,2Y − 10; (d) S = 0,4Y − 10; (e) S = 100 + 0,4Y.

Stejná pravidla jako Z7/Q1.

	Funkce	MPS	S(0)	Verdikt
(a)	0,2Y − 50	0,2 ∈ (0,1) ✓	−50 < 0 ✓	ANO
(b)	−0,3Y + 50	−0,3 ✗	—	NE
(c)	1,2Y − 10	1,2 > 1 ✗	—	NE
(d)	0,4Y − 10	0,4 ✓	−10 < 0 ✓	ANO
(e)	0,4Y + 100	0,4 ✓	+100 > 0 ✗	NE

Z8/Q2 20 b — MRTS(10,100) = 15

Identické se Z5/Q2. $MRTS = MP_L/MP_K$ . MRTS(10,100) = 15 znamená, že 1 jednotku práce lze nahradit ~15 jednotkami kapitálu se zachovanou produkcí.

Z8/Q3 30 b — Min výdajů (totožné se Z2/Q3)

Q_1^* = 4 \cdot 5^{2/3} \approx 11{,}696, \quad Q_2^* = 10 \cdot 5^{2/3} \approx 29{,}240, \quad E^* = 60 \cdot 5^{2/3} \approx 175{,}44

Viz Z2/Q3.

Z8/Q4 40 b — Kašmírové ponožky (totožné se Z7/Q4)

$Q = 8\,000$ ; $E_P = 0{,}5$ (neelastická); $E_{P_A} = 0{,}125$ (substitut); $E_Y = 1{,}25$ (normální/luxusní); $\Delta Q\% \approx +24{,}125 \%$ .

Viz Z7/Q4.

Závěrečné shrnutí pro studium

Mapa úloh × topiky

Zadání	Q1	Q2	Q3	Q4
1	TR	MPK	max U	C-I
2	nabídka	E_PA	min E	cenová diskriminace
3	AC	MRCS	max produkce	IS-LM
4	páry poptávky	MRCS	max zisku 2 zboží	IS-LM (= Z3)
5	AC (= Z3)	MRTS	max produkce (= Z3)	TR/TC firmy
6	TR	MPK	mezní náklady	C-I (≈ Z1)
7	úspory	MRCS	rovnováha trhu	vícefaktorová
8	úspory	MRTS	min E (= Z2)	vícefaktorová (= Z7)

Klíčové vzorce, které musíš znát

TR = P·Q, MR = TR'(Q), MC = TC'(Q) — derivace celkových veličin (viz derivace).
AC = MC v min AC; AVC = MC v min AVC; MR = MC v max zisku — tři optimalizační principy firmy.
MRCS = MU₁/MU₂ = P₁/P₂ v optimu spotřebitele; MRTS = MP_L/MP_K sklon izokvanty.
Y^E = (b + I)/(1 − a) — model C-I; Keynesův multiplikátor $\partial Y / \partial I = 1/(1-a)$ .
r^E = (q − n)/(m − p) — IS-LM po dosazení.
Δf ≈ f'(x) Δx (jedna proměnná) nebo df = ∑(∂f/∂xᵢ) dxᵢ (více proměnných) — diferenciál.
E = −(P/Q)·(dQ/dP) — cenová elasticita; vícefaktorové analogicky pro $E_{P_A}, E_Y$ .
CS = ∫₀^Q D dQ − P Q; PS = P Q − ∫₀^Q S dQ — přebytky.

Kdy je aproximace přesná a kdy ne

Přesná = aproximace pro lineární funkce (např. $Y^E = (b+I)/(1-a)$ je lineární v $b$ a $I$ — tedy diferenciál pro samotné $\Delta b$ nebo $\Delta I$ je přesný).
Přibližná = aproximace pro nelineární funkce nebo velké perturbace. Příklady chyb v tomto materiálu:
- Z1/Q4(e): $da = 0{,}2$ → chyba 25 %
- Z3/Q4(d): $dp = -20, dm = 10$ → chyba 12 %
- Z6/Q3(c): $dQ = 10$ pro kvadratické MC → chyba 25 %
- Z6/Q4(e): $da = -0{,}1$ → chyba 12 %

Postup řešení dle typu úlohy

Navigace

Kompletní přehled vzorců: ImeK — kompletní přehled vzorců
Kurz: Matematická ekonomie (ImeK)
Souhrny přednášek: Kalkul a mikroekonomie, Elasticita a produkce, Užitečnost a národní důchod
Mikroekonomie: Poptávka a nabídka, Příjem, náklady, zisk, Elasticita, Produkce, Užitečnost, Optimalizace spotřebitele, Přebytky
Makroekonomie: Národní důchod, IS-LM analýza
Matematický aparát: Derivace, Integrál, Funkce více proměnných, Lagrangeova metoda

Změna	da	Aproximace	Přesné	Chyba
Z1/Q4(e)	+0,2	360	480	25 %
Z6/Q4(e)	−0,1	−156,9	−139,4	12 %