Přebytek spotřebitele a výrobce

!abstract TL;DR Přebytek spotřebitele ( $CS$ ) je rozdíl mezi tím, co byl spotřebitel ochoten zaplatit, a tím, co skutečně zaplatil. Přebytek výrobce ( $PS$ ) je rozdíl mezi tím, co výrobce dostal, a minimální cenou, za kterou by byl ochoten prodávat. Geometricky jsou to plochy mezi křivkou poptávky / nabídky a rovnovážnou cenou; početně určité integrály. Součet $CS + PS$ měří celkový blahobyt trhu.

Přebytek spotřebitele (consumer surplus, $CS$ ) a přebytek výrobce (producer surplus, $PS$ ) kvantifikují čistý prospěch jednotlivých stran trhu. Navazují na pojmy tržní rovnováhy a využívají aparát integrálního počtu.

Úvod

Je dána funkce poptávky $P = D(Q)$ , resp. funkce nabídky $P = S(Q)$ . Pro pevně zadané množství $Q_0$ je odpovídající cena $P_0 = D(Q_0)$ (resp. $P_0 = S(Q_0)$ ). Součin $P_0 \, Q_0$ reprezentuje buď výdaje spotřebitele, nebo tržby výrobce a geometricky odpovídá obsahu obdélníka $0\,Q_0\,A\,P_0$ v rovině $(Q, P)$ , kde $A = [Q_0, P_0]$ .

!info Intuice
Za jednotky zboží nakoupené před posledním kusem je spotřebitel podle funkce poptávky ochoten platit více než $P_0$ — rozdíl si „šetří do kapsy" jako přebytek.
Za jednotky zboží prodané před posledním kusem by výrobce podle funkce nabídky byl ochoten prodávat i za nižší cenu než $P_0$ — rozdíl je jeho přebytek.
Přebytek je tedy rozdíl mezi ochotou (platit / prodávat) a skutečností (zaplaceno / obdrženo).

imek-prebytky-cs-ps

Přebytek spotřebitele ( $CS$ )

Definice (vzorec 2.14)

Pro poptávku $P = D(Q)$ a pevně zadané $Q_0$ s cenou $P_0 = D(Q_0)$ :

CS(Q_0) = \int_0^{Q_0} D(Q)\,dQ - P_0\,Q_0. \tag{2.14}

Geometrická interpretace

$\displaystyle \int_0^{Q_0} D(Q)\,dQ$ — plocha pod křivkou poptávky v intervalu $[0, Q_0]$ ; představuje celkovou ochotu platit (maximální částku, kterou by spotřebitel za $Q_0$ jednotek byl ochoten zaplatit).
$P_0\,Q_0$ — skutečně zaplacená částka (obdélník $0\,Q_0\,A\,P_0$ ).
$CS$ je plocha mezi křivkou poptávky a vodorovnou přímkou $P = P_0$ v pásu $[0, Q_0]$ — „křivočarý trojúhelník" $P_0\,B\,A$ , kde $B = [0, D(0)]$ a $A = [Q_0, P_0]$ .

Obrázek 2.24: Křivka poptávky $D$ , bod $A = [Q_0, P_0]$ , vyšrafovaná plocha trojúhelníku $P_0\,B\,A$ představuje $CS$ .

Přebytek výrobce ( $PS$ )

Definice (vzorec 2.15)

Analogicky — pro nabídku $P = S(Q)$ a pevně zadané $Q_0$ s cenou $P_0 = S(Q_0)$ :

PS(Q_0) = P_0\,Q_0 - \int_0^{Q_0} S(Q)\,dQ. \tag{2.15}

Geometrická interpretace

$P_0\,Q_0$ — tržba výrobce za prodané množství $Q_0$ .
$\displaystyle \int_0^{Q_0} S(Q)\,dQ$ — plocha pod křivkou nabídky; minimální částka, za kterou by byl výrobce ochoten $Q_0$ jednotek dodat (souvisí s mezními náklady).
$PS$ je plocha mezi vodorovnou přímkou $P = P_0$ a křivkou nabídky v pásu $[0, Q_0]$ .

Obrázek 2.25: Přebytek výrobce (plocha mezi rovnovážnou cenou a křivkou nabídky) a přebytek spotřebitele (plocha mezi křivkou poptávky a rovnovážnou cenou) v rovnovážném bodě.

!tip Postup výpočtu CS a PS
Zjisti (nebo si zvol) množství $Q_0$ a odpovídající cenu $P_0 = D(Q_0)$ resp. $P_0 = S(Q_0)$ . V rovnováze platí $D(Q^E) = S(Q^E) = P^E$ .
Spočti určitý integrál $\int_0^{Q_0} D(Q)\,dQ$ (pro $CS$ ) nebo $\int_0^{Q_0} S(Q)\,dQ$ (pro $PS$ ).
Sestav obdélník $P_0 \cdot Q_0$ .
Dosaď:
$CS = \int_0^{Q_0} D(Q)\,dQ - P_0 Q_0$ (integrál mínus obdélník)
$PS = P_0 Q_0 - \int_0^{Q_0} S(Q)\,dQ$ (obdélník mínus integrál)
Kontrola znaménka: obě hodnoty musí být kladné. Pokud vyjde záporná, máš prohozené pořadí.

Příklady

Příklad 2.11 — komparativní statika pro rovnovážné množství

!example Zadání Jsou dány poptávka $P = aQ + b$ a nabídka $P = cQ + d$ s hodnotami $a = -3$ , $b = 40$ , $c = 0{,}5$ , $d = 10$ . Rovnovážné množství: $Q^E = \frac{b - d}{c - a} = \frac{40 - 10}{0{,}5 - (-3)} = \frac{30}{3{,}5} \doteq 8{,}571.$ Zjistěte změnu $Q^E$ (a) při změně samotného parametru $c$ , (b) při současné změně všech čtyř parametrů.

Řešení (a) — změna $c$ z $0{,}5$ na $0{,}6$ , ceteris paribus.

Pomocí vzorce (2.13) pro $\dfrac{\partial Q^E}{\partial c} = -\dfrac{b-d}{(c-a)^2}$ , resp. ekvivalentně $-\dfrac{Q^E}{c-a}$ :

dQ^E = -\frac{Q^E}{c - a}\,dc = -\frac{8{,}571}{3{,}5}\cdot 0{,}1 \doteq -0{,}245.

Nové rovnovážné množství:

Q_1^E \approx 8{,}571 - 0{,}245 = 8{,}326.

Řešení (b) — současná změna všech parametrů: $a: -3 \to -2{,}5$ , $b: 40 \to 35$ , $c: 0{,}5 \to 0{,}6$ , $d: 10 \to 11$ , tedy $da = 0{,}5$ , $db = -5$ , $dc = 0{,}1$ , $dd = 1$ .

Totální diferenciál $Q^E(a, b, c, d) = \dfrac{b - d}{c - a}$ podle (2.11) a (2.12):

dQ^E = \frac{b-d}{(c-a)^2}\,da + \frac{1}{c-a}\,db - \frac{b-d}{(c-a)^2}\,dc - \frac{1}{c-a}\,dd.

Dosazením číselných hodnot ( $c - a = 3{,}5$ , $(c-a)^2 = 12{,}25$ , $b - d = 30$ ):

dQ^E \approx \tfrac{30}{12{,}25}(0{,}5) + \tfrac{1}{3{,}5}(-5) - \tfrac{30}{12{,}25}(0{,}1) - \tfrac{1}{3{,}5}(1) \doteq 1{,}224 - 1{,}429 - 0{,}245 - 0{,}286 \doteq -0{,}735.

Tedy $Q_1^E \approx 8{,}571 - 0{,}735 \doteq 7{,}836$ .

!warning Pozn. k přepisu učebnice V původním skenu přednášky byla u části (b) uvedena hodnota $\Delta Q \approx -2{,}69$ , což neodpovídá součtu dílčích derivací při daných přírůstcích. Podle vlastního přepočtu vychází $dQ^E \doteq -0{,}735$ . Totální diferenciál je navíc pouze lineární aproximací; přesná změna zjištěná ze změněného vzorce $Q_1^E = \frac{b' - d'}{c' - a'} = \frac{35 - 11}{0{,}6 - (-2{,}5)} = \frac{24}{3{,}1} \doteq 7{,}742$ dává skutečnou změnu $\Delta Q \doteq -0{,}829$ — dobře konzistentní s diferenciálem. Hodnota $-2{,}69$ je tedy pravděpodobně chyba v zápisu.

Příklad 2.11 je primárně o multiplikátorech pro $Q$ , ale kniha ho zařazuje před výklad přebytků jako přechod ke komparativní statice před aplikací na CS/PS. Princip redukovaného tvaru lze uplatnit na libovolné ekonomické proměnné — v kap. 7 např. pro makroekonomii.

Příklad 2.13 — numerický výpočet $PS$

!example Zadání Pro nabídku $P = S(Q) = 10 + 2Q$ a množství $Q_0 = 10$ vypočítejte přebytek výrobce.

Řešení.

Odpovídající cena:

P_0 = S(10) = 10 + 2\cdot 10 = 30.

Dle vzorce (2.15):

PS(10) = P_0 Q_0 - \int_0^{10}(10 + 2Q)\,dQ = 10 \cdot 30 - \Big[10Q + Q^2\Big]_0^{10} = 300 - (100 + 100) = 100.

Přebytek výrobce při množství $Q_0 = 10$ je tedy $PS = 100$ (peněžních jednotek).

Cheat sheet

Veličina	Vzorec	Geometrie
$CS(Q_0)$	$\displaystyle \int_0^{Q_0} D(Q)\,dQ - P_0 Q_0$	plocha pod křivkou poptávky, nad čárou $P = P_0$
$PS(Q_0)$	$\displaystyle P_0 Q_0 - \int_0^{Q_0} S(Q)\,dQ$	plocha nad křivkou nabídky, pod čárou $P = P_0$
Výdaje / tržby	$P_0 \cdot Q_0$	obdélník $0\,Q_0\,A\,P_0$
Celkový přebytek	$CS + PS$	součet obou ploch v rovnováze

Klíčové pojmy

Přebytek spotřebitele ( $CS$ , consumer surplus) — rozdíl mezi ochotou platit a skutečnou platbou, vzorec (2.14).
Přebytek výrobce ( $PS$ , producer surplus) — rozdíl mezi tržbou a minimální cenou dle nabídky, vzorec (2.15).
Ochota platit — $\displaystyle \int_0^{Q_0} D(Q)\,dQ$ .
Minimální cena výrobce — $\displaystyle \int_0^{Q_0} S(Q)\,dQ$ .
Výdaje spotřebitele / tržby výrobce — $P_0\,Q_0$ (obdélník $0\,Q_0\,A\,P_0$ ).
Celkový přebytek trhu — součet $CS + PS$ v rovnovážném bodě.
Geometrická interpretace — plochy ohraničené křivkami $D$ , $S$ a přímkou $P = P_0$ .

Dopad daně na přebytky a mrtvá ztráta

Uvalení jednotkové daně $T$ na trh posouvá rovnovážné množství pod $Q^E$ a rozkládá původní plochu přebytků na nové části.

imek-prebytky-s-dani-deadweight

Přebytek spotřebitele $CS$ se zmenší (spotřebitelé platí víc a nakupují méně), přebytek výrobce $PS$ se rovněž zmenší (výrobci obdrží po odvodu méně). Stát získává daňový příjem (obdélník $T \cdot Q_1^E$ ). Zbývající část původních přebytků — mrtvá ztráta (deadweight loss, DWL) — je čistým úbytkem blahobytu, který nikdo neinkasuje, a je důsledkem transakcí, které se kvůli dani vůbec neuskuteční. Detailní rozbor viz Zdanění trhu.

Navigace

Nadřazené téma: Poptávka, nabídka a tržní rovnováha
Matematický aparát: Integrál (určitý integrál, plocha pod křivkou), Derivace (monotonie křivek)
Související: Příjem, náklady, zisk
Shrnutí přednášek: KS — 1. blok
Kurz: Matematická ekonomie