Síťová analýza projektu (CPM, PERT, GERT)

Síťový graf jako model projektu

Síťový graf je orientovaný acyklický graf (DAG) s následující sémantikou:

• Uzly reprezentují stavy projektu — okamžiky zahájení nebo dokončení jedné či více aktivit. Číslují se od počátečního uzlu (typicky 1) ke koncovému (n).
• Hrany reprezentují aktivity (činnosti) projektu. Každá hrana $(i, j)$ vede z uzlu $i$ (počátek aktivity) do uzlu $j$ (konec aktivity) a má ohodnocení $d_{ij}$ — typicky trvání aktivity, ale může jít i o náklady, spotřebu zdrojů či kombinaci.
• Orientovanost a acykličnost zajišťují, že existuje smysluplný časový tok od počátku ke konci a že žádná aktivita není sama svým předchůdcem (jinak by projekt nebylo možné dokončit).
• Jediný počáteční a jediný koncový uzel — pokud má projekt více souběžných počátků nebo konců, slučují se přes fiktivní uzly s nulovým ohodnocením.

Síťový graf umožňuje vedle časové analýzy provádět také zdrojovou analýzu (kolik pracovníků, strojů či kapitálu je potřeba v každém okamžiku) a nákladovou analýzu (kumulované náklady v čase, trade-off mezi zkrácením doby a navýšením nákladů — tzv. time-cost trade-off).

Příklad: zavedení nové výroby ve firmě

Prof. Rais ilustruje sestavení síťového grafu na projektu změny výroby ve firmě. Stávající výroba bude zastavena, personál proškolen, po jednoduchých stavebních úpravách bude navezena nová technologie, zajištěn výrobní materiál a subdodavatelé, započne se testování výroby a po zkušebním období bude zahájena plná výroba. Projekt obsahuje cca 8 fází s následujícími hlavními aktivitami:

1. Zastavení dosavadní výroby — odstavení strojů, vyklizení haly, uzavření aktuálních zakázek.
2. Proškolení dělníků a mistrů — kvalifikace pracovníků pro nové technologické postupy.
3. Technická příprava výroby — dokumentace, nástroje, příprava pracovišť (může běžet paralelně se školením).
4. Stavební úpravy a instalace nové technologie — fyzická úprava prostor, navezení strojů, jejich zapojení.
5. Marketing a uzavření obchodních smluv — inzerce, osobní kontakty, zajištění subdodavatelů a odběratelů.
6. Zkušební provoz — testování výroby na omezeném objemu, ladění procesu.
7. Proškolení prodejců a doplnění prodejní sítě — distribuční příprava.
8. Spuštění plného provozu — uvedení do běžného režimu.

Některé fáze běží paralelně (např. proškolení dělníků a stavební úpravy), jiné sekvenčně (zkušební provoz musí předcházet plnému provozu). Tyto závislosti jsou vyjádřeny strukturou hran v grafu.

Metoda kritické cesty (CPM)

CPM je nejstarší a nejjednodušší varianta síťové analýzy. Předpokládá, že trvání každé aktivity je deterministicky známé — typicky jde o opakovatelné úlohy, u nichž lze stanovit dobu z norem nebo zkušenosti (stavebnictví, sériová výroba, údržba).

Klíčové pojmy a značení

V Raisově značení je $TM_i$ termín nejdřívější možný a $TP_j$ termín nejpozději přípustný. V anglosaské literatuře se používají $ES$, $EF$, $LS$, $LF$.

Forward pass — výpočet $TM_i$

V síťovém grafu se postupuje od počátečního uzlu ke koncovému:

kde $\text{Pred}(j)$ je množina všech uzlů, z nichž vede hrana do $j$. Pokud má uzel více předchůdců, bere se maximum — uzel může začít až poté, co skončí všechny vstupující aktivity.

Příklad –61. Síť má 9 uzlů s následujícími trváními hran: $d_{12} = 8$, $d_{15} = 6$, $d_{13} = 4$, $d_{24} = 2$, $d_{25} = 0$, $d_{36} = 1$, $d_{47} = 3$, $d_{57} = 3$, $d_{56} = 0$, $d_{58} = 5$, $d_{68} = 8$, $d_{78} = 1$, $d_{89} = 4$.

Postupný výpočet:

• $TM_1 = 0$
• $TM_2 = TM_1 + 8 = 8$
• $TM_3 = TM_1 + 4 = 4$
• $TM_4 = TM_2 + 2 = 10$
• $TM_5 = \max(TM_1 + 6, TM_2 + 0) = \max(6, 8) = 8$
• $TM_6 = \max(TM_3 + 1, TM_5 + 0) = \max(5, 8) = 8$
• $TM_7 = \max(TM_4 + 3, TM_5 + 3) = \max(13, 11) = 13$
• $TM_8 = \max(TM_5 + 5, TM_6 + 8, TM_7 + 1) = \max(13, 16, 14) = 16$
• $TM_9 = TM_8 + 4 = 20$

Výsledek $TM_8 = 16$ a celková doba projektu $TM_9 = 20$ je délka kritické cesty.

Backward pass — výpočet $TP_j$

Postupuje se od koncového uzlu k počátečnímu:

kde $\text{Succ}(i)$ je množina uzlů, do nichž vede hrana z $i$. Pokud má uzel více následníků, bere se minimum — uzel musí skončit dost brzy, aby každý následující navazoval bez zpoždění.

Pokračování příkladu, $TP_9 = 20$:

• $TP_8 = TP_9 - 4 = 16$
• $TP_7 = TP_8 - 1 = 15$
• $TP_6 = TP_8 - 8 = 8$
• $TP_5 = \min(TP_7 - 3, TP_8 - 5, TP_6 - 0) = \min(12, 11, 8) = 8$
• $TP_4 = TP_7 - 3 = 12$
• $TP_3 = TP_6 - 1 = 7$
• $TP_2 = \min(TP_4 - 2, TP_5 - 0) = \min(10, 8) = 8$
• $TP_1 = \min(TP_2 - 8, TP_5 - 6, TP_3 - 4) = \min(0, 2, 3) = 0$

Časová rezerva a kritická cesta

Pro každý uzel platí:

Uzly, jejichž rezerva je nulová ($R_j = 0$), tvoří kritickou cestu. Jsou to uzly, kde nejdřívější a nejpozdější termín splývají — žádná tolerance zpoždění.

Z příkladu výše:

Kritická cesta: $1 \to 2 \to 5 \to 6 \to 8 \to 9$ s délkou 20 časových jednotek. Hrany $5 \to 6$ a $2 \to 5$ s nulovým ohodnocením jsou tzv. fiktivní aktivity — vyjadřují pouze závislost mezi stavy, ne skutečnou činnost.

Praktický postup CPM

Postup pro reálný projekt lze shrnout do následujícího pseudokódu:

1. Identifikujte všechny aktivity projektu a jejich trvání d_ij.
2. Sestavte síťový graf (uzly = stavy, hrany = aktivity, šipky = závislosti).
3. Forward pass: spočítejte TM_i (ES, EF) od počátečního uzlu k cílovému.
4. Backward pass: spočítejte TP_i (LS, LF) od cílového uzlu k počátečnímu.
5. Spočítejte rezervy R_j = TP_j − TM_j pro každý uzel.
6. Identifikujte kritickou cestu jako posloupnost uzlů s R_j = 0.
7. Plánujte zdroje a manažerskou pozornost prioritně na aktivity kritické cesty;
 pro nekritické aktivity využijte rezervy k vyhlazení zdrojového vytížení.

Manažerská pointa: pozornost se musí soustředit na kritickou cestu, protože každý den prodlení zde = den prodlení celého projektu. U nekritických aktivit lze využít rezervu k posunu termínů a vyrovnání nárazů na zdroje (tzv. resource leveling).

Analýza cest a délka projektu

V síťovém grafu existuje obvykle více cest z počátečního do koncového uzlu, každá s vlastní celkovou dobou trvání. Délka projektu je rovna délce nejdelší cesty — to je definice kritické cesty.

Ze slidu 58 (jednodušší výukový příklad) jsou v grafu čtyři cesty s celkovými trváními 6, 7, 8 a 9 hodin. Doba projektu je tedy 9 hodin — tato cesta je kritická a všechny uzly na ní mají nulovou rezervu. Cesty kratší než 9 hodin obsahují uzly s kladnou rezervou rovnou rozdílu mezi délkou kritické cesty a délkou dané cesty.

Pokud manažer dokáže zkrátit aktivitu na kritické cestě (např. nasazením více pracovníků nebo subdodavatele), zkrátí celý projekt — pouze však potud, dokud se kritickou cestou nestane jiná, dosud subkritická cesta. Crashing projektu znamená systematické zkracování kritické cesty s rostoucími náklady, dokud mezní náklady na zkrácení nepřevyšují benefit ze zkrácení termínu.

Embed: výpočet časových rezerv

Diagram zobrazuje finální stav výpočtu — každý uzel má dvojici hodnot $TM_j \,|\, TP_j$. Tam, kde se obě hodnoty rovnají (rozdíl 0), leží na kritické cestě a jsou na obrázku vyznačeny tučně. Hodnoty v závorkách u hran představují mezivýpočty $TP_j - d_{ij}$ použité v backward passu.

PERT — Program Evaluation and Review Technique

PERT je rozšířením CPM pro situace, kdy trvání aktivit nelze stanovit deterministicky — typicky u neopakovatelných úloh: výzkum a vývoj, kosmické a obranné projekty, stavby unikátních konstrukcí, IT projekty s vysokou mírou nejistoty.

Tři odhady trvání

Pro každou aktivitu $(i, j)$ se odhadují tři hodnoty trvání:

• $a_{ij}$ — optimistický odhad (best-case): vše proběhne hladce, žádné komplikace.
• $m_{ij}$ — nejpravděpodobnější odhad (most likely): typický průběh, modální hodnota.
• $b_{ij}$ — pesimistický odhad (worst-case): naskytnou se realistické komplikace, ale ne katastrofa.

Očekávané trvání a variance

PERT předpokládá, že trvání aktivity má beta rozdělení s parametry odhadnutými z trojice $a, m, b$. Po vážení vychází:

Hodnota $t_e$ slouží jako deterministická náhrada $d_{ij}$ — používá se v běžném CPM výpočtu kritické cesty. Hodnota $\sigma^2$ kvantifikuje nejistotu ohledně trvání.

Pravděpodobnostní analýza termínu

Klíčová odvozená vlastnost PERT: variance celkové doby projektu je rovna součtu variancí aktivit na kritické cestě (předpoklad nezávislosti):

Z této variance lze za předpokladu přibližné normality (CLT) spočítat pravděpodobnost dodržení libovolného cílového termínu $T$:

Tato statistika je přímý vstup do risk managementu projektu — manažer vidí, s jakou pravděpodobností termín skutečně dodrží, a může prosadit rezervu (časový buffer) odpovídající požadované úrovni jistoty (typicky 90–95 %). Statistické charakteristiky střední hodnoty a směrodatné odchylky jsou stejné nástroje, které kurz IrmanK používá v měření rizika obecně (σ jako míra variability, koeficient variace pro porovnání).

GERT — Graphical Evaluation and Review Technique

GERT je nejobecnější varianta. Oproti CPM/PERT připouští:

• Variantní průběh — z uzlu může vést více možných pokračování s pravděpodobnostmi přechodu (probabilistické větvení).
• Smyčky — aktivita se může opakovat, např. v případě neúspěchu testu se vrátíme k vývoji.
• Aktivity, které nemusí proběhnout — některé větve grafu se realizují jen někdy.

GERT je svojí strukturou blízký rozhodovacím stromům a markovským procesům. Použití:

• Inovační projekty s nejistotou ohledně toho, která vývojová varianta vyjde.
• Klinické a regulatorní procesy s opakováním zkoušek.
• Komplexní servisní/výrobní procesy s rework smyčkami.

Vyhodnocení GERT typicky probíhá simulací Monte Carlo — analytické řešení je možné jen pro speciální struktury. Výstupem je rozdělení pravděpodobnosti doby trvání projektu, ne jen jedno číslo.

SW nástroje pro síťovou analýzu

Manuální výpočet CPM/PERT je proveditelný pro malé sítě (do ~20 uzlů). Reálné projekty mají stovky až tisíce aktivit a vyžadují specializovaný software:

• MS Project Manager (Microsoft) — standardní nástroj pro malé a střední projekty. Umí CPM, Ganttovy diagramy, vytížení zdrojů, base­liny. V kurzu IrmanK je referenční volbou.
• Primavera P6 (Oracle) — enterprise třída, určená pro velké inženýrské, energetické a stavební projekty. Plnohodnotný PERT, multi-projektové portfolio.
• GanttProject — open-source desktopový nástroj, omezené funkce, vhodné pro výuku a malé projekty.
• ProjectLibre — open-source náhrada MS Projectu, kompatibilní formát souborů.
• Asana, Jira, Monday — moderní cloudové nástroje primárně pro agilní řízení; síťovou analýzu nepokrývají v plné šíři, ale umí závislosti a kritickou cestu.

Použití v risk managementu

Síťová analýza je v kurzu IrmanK chápána jako kvantitativní páteř plánování změny. Konkrétní role v risk managementu:

• Modeluje realizační etapu Lewinova modelu — fáze change (vlastní provedení změny) je v technokratickém pojetí projekt, který je modelován síťovým grafem.
• PERT explicitně počítá riziko zpoždění — variance součtu na kritické cestě dává pravděpodobnost překročení termínu, což je přímo kvantitativní rizikový ukazatel.
• Identifikuje kritická místa projektu — uzly s nulovou rezervou jsou rizikově exponovaná místa: jakékoliv zpoždění zde = posun celého termínu. Manažer ví, kde má přidat zdroje a kontrolu.
• Umožňuje what-if analýzu — manažer simuluje dopad zpoždění, výpadku zdroje či škrtnutí aktivity a vidí změnu v kritické cestě a v termínu.
• Doporučení plynoucí z výsledků: posilte zdroje na kritické cestě, zvažte paralelizaci sekvenčních aktivit, monitorujte včas — typické taktiky snižování rizika prodlení.

V kombinaci s analýzou silového pole dostane manažer kvantitativní časový plán (síťová analýza) doplněný o kvalitativní obraz lidských sil pro a proti změně (force field). Obě metody jsou komplementární a v praxi se používají souběžně.

Pedagogická poznámka

Síťová analýza optimalizuje časové rozložení a alokaci zdrojů, ale nemodeluje motivaci, komunikaci, kompetence ani kulturu týmu. Tu pokrývá Lewinův model (rozmrazení – pohyb – zamrazení), analýza silového pole a další nástroje řízení změny. Kvalitní projektové řízení v kurzu IrmanK proto vždy kombinuje tvrdé (CPM/PERT, finanční ukazatele) a měkké (lidé, komunikace, kultura) nástroje. Bez měkké stránky kritická cesta nestihne ani v dokonalém Ganttu.

Souvislosti

• Lewinův model — síťová analýza modeluje časový plán realizační etapy (fáze change).
• Analýza silového pole — kvalitativní doplněk síťové analýzy: zatímco CPM kvantifikuje čas a zdroje, force field kvantifikuje lidské síly pro a proti změně.
• Měření rizika — PERT používá $\sigma^2$ pro odhad variability stejně, jako se obecně v risk managementu používá směrodatná odchylka jako míra variability.
• Definice rizika — síťová analýza poskytuje konkrétní rizikový ukazatel (pravděpodobnost dodržení termínu).
• Operační analýza / operační výzkum — síťová analýza je podmnožinou OR/OA disciplíny, příbuzné s lineárním programováním a teorií front.
• Cross-course: optimalizace (kurz IpmrK) — pokročilé metody (LP, nelineární optimalizace, evoluční algoritmy) lze použít na resource-constrained scheduling — komplikovanější varianty síťové analýzy s omezenými zdroji.

Navigace

• Předchozí: Analýza silového pole
• Navazující: Definice rizika (začátek 2. části přednášky)
• Související: Lewinův model, KAIZEN vs. inovace, Odpor ke změně