IrmanK — Přehled vzorců a klíčových modelů

Úvod

Tento referenční list shrnuje všechny klíčové vzorce a modely kurzu Risk management (IrmanK) potřebné pro přípravu na zkoušku. Pro každý vzorec je uveden:

vzorec v LaTeX zápisu,
význam jednotlivých proměnných,
kdy a proč se používá,
odkaz na příslušnou topic stránku s plným výkladem.

Stránka je strukturovaná podle tematických bloků kurzu: měření rizika → mapa rizik → taktiky a metody snižování → síťová analýza projektu → investiční rozhodování → strategické modely (McFarlan, Lewin, EFQM, 7S) → finanční nástroje → diverzifikace a klasifikace.

1. Měření rizika — statistické charakteristiky

Plný výklad: mereni-rizika.

1.1 Rozptyl σ²

\sigma^2 = \sum_{i=1}^{n} (r_i - E(r))^2 \cdot P_i

$r_i$ — i-tá hodnota proměnné (výnos, cena akcie, kurz),
$E(r)$ — střední hodnota (očekávaná hodnota), $E(r) = \sum r_i \cdot P_i$ ,
$P_i$ — pravděpodobnost i-té hodnoty (nebo $1/n$ pro empirické rozdělení),
$n$ — počet pozorování.

Jednotka: kvadrát původní jednotky (Kč², %²) — interpretačně nepraktická, proto se v praxi používá σ.

1.2 Směrodatná odchylka σ

\sigma = \sqrt{\sigma^2}

Stejné jednotky jako $r_i$ — typická odchylka výnosu od průměru.
Pravidlo 68–95–99,7 % pro normální rozdělení.
Vyšší σ → vyšší volatilita → vyšší riziko.

1.3 Koeficient variace KV

KV\,(\%) = \frac{\sigma}{E(r)} \cdot 100\,\%

Bezrozměrný — umožňuje srovnání rizik různě velkých aktiv (akcie 200 Kč × dluhopis 10 000 Kč).
Vyšší KV = vyšší relativní riziko na jednotku výnosu.

1.4 Příklad — akcie ČS

Veličina	Hodnota
Cena akcie ČS, $E$	179,14 Kč
Směrodatná odchylka, $\sigma$	8,95 Kč
Koeficient variace, $KV$	≈ 5 %

Typická odchylka ceny od průměru je ±8,95 Kč; v intervalu 170,19 – 188,09 Kč by mělo ležet ~68 % pozorování.

1.5 Variance portfolia (2 aktiva)

\sigma_p^2 = w_1^2 \sigma_1^2 + w_2^2 \sigma_2^2 + 2 w_1 w_2 \rho \sigma_1 \sigma_2

$w_1, w_2$ — váhy aktiv v portfoliu, $w_1 + w_2 = 1$ ,
$\sigma_1, \sigma_2$ — směrodatné odchylky výnosů jednotlivých aktiv,
$\rho$ — korelační koeficient výnosů obou aktiv.

Klíč pro diverzifikaci: při $\rho < 1$ je $\sigma_p < w_1\sigma_1 + w_2\sigma_2$ — kombinace nedokonale korelovaných aktiv snižuje portfolio riziko.

2. Hodnota rizika a mapa rizik

Plný výklad: mapa-rizik.

2.1 Vzorec rizika

R = D \times P

$R$ — hodnota rizika (Risk score), $0{,}01 \leq R \leq 25{,}0$ ,
$D$ — dopad (Damage / Impact), škála 0,1–5,0,
$P$ — pravděpodobnost (Probability), škála 0,1–5,0.

2.2 Tři zóny mapy rizik

Zóna	Hodnota R	Akce
Kritická (červená)	$R \geq 5$	Okamžitě, top management, redukce/přenos
Závažná (žlutá)	$1 \leq R < 5$	Plán mitigace 6–12 měsíců
Běžná (zelená)	$R < 1$	Monitoring, periodické přezkoumávání

2.3 Stupnice pravděpodobnosti P

Stupeň	Slovní popis	Hodnota
1	Téměř nemožná	0,1
2	Velmi nepravděpodobná	0,5
3	Pravděpodobná	1,0
4	Velmi pravděpodobná	2,0
5	Hraničící s jistotou	5,0

2.4 Stupnice dopadu D

Stupeň	Slovní popis	Hodnota
1	Téměř neznatelný	0,1
2	Drobný	0,5
3	Významný	1,0
4	Závažný	2,0
5	Nepřijatelný	5,0

3. Čtyři taktiky řízení rizik

Plný výklad: taktiky-rizeni-rizik.

	Nízký dopad D	Vysoký dopad D
Nízká P	Udržení (retence)	Přenos (pojištění)
Vysoká P	Vyvárování	Redukce

Udržení (retence) — riziko nese firma sama z provozního rozpočtu.
Přenos — pojištění, outsourcing, hedging, faktoring.
Vyvárování (avoidance) — vystoupit z činnosti, nedělat danou aktivitu.
Redukce — snížit P (preventivní opatření) nebo D (kontingenční plán).

4. Šest metod snižování rizika

Plný výklad: metody-snizovani-rizika.

Ignorance — riziko není rozpoznáno (anti-pattern, ne strategie).
Retence (akceptace) — vědomé převzetí rizika.
Redukce — snížení P nebo D opatřeními.
Vyhýbání — eliminace zdroje rizika.
Přenos — pojištění, outsourcing, smluvní přenos.
Monitoring — sledování a včasné varování.

4.1 Tradiční dělení 2×2

	Nízká P	Vysoká P
Vysoký D	Pojištění	Vyhnutí / redukce
Nízký D	Retence	Retence / redukce

5. Síťová analýza projektu — CPM

Plný výklad: sitova-analyza-cpm-pert.

5.1 Výpočetní veličiny

ES (Earliest Start) — forward pass: $ES_i = \max(EF_{\text{predchudce}})$
EF (Earliest Finish): $EF_i = ES_i + d_{ij}$
LS (Latest Start) — backward pass: $LS_i = LF_i - d_{ij}$
LF (Latest Finish): $LF_i = \min(LS_{\text{naslednik}})$
TM₁ (celková doba projektu) = max $EF$ v koncovém uzlu = délka kritické cesty.
TPⱼ (celková časová rezerva uzlu): $TP_j = LS_j - ES_j = LF_j - EF_j$
Kritická cesta — posloupnost uzlů s $TP_j = 0$ . Zpoždění libovolné aktivity na ní zpožďuje celý projekt.

5.2 Postup výpočtu

1. Forward pass:  ES, EF od počátečního uzlu k koncovému.
2. Backward pass: LS, LF od koncového uzlu zpět.
3. TPⱼ = LSⱼ − ESⱼ pro každý uzel.
4. Kritická cesta = uzly s TPⱼ = 0.

6. PERT — stochastické trvání

Plný výklad: sitova-analyza-cpm-pert.

6.1 Tři odhady času (β-rozdělení)

$a$ — optimistický odhad,
$m$ — nejpravděpodobnější odhad,
$b$ — pesimistický odhad.

6.2 Očekávané trvání aktivity

t_e = \frac{a + 4m + b}{6}

6.3 Variance aktivity

\sigma^2_{\text{aktivita}} = \left(\frac{b - a}{6}\right)^2

6.4 Variance projektu

\sigma^2_{\text{projekt}} = \sum_{i \in \text{kriticka cesta}} \sigma^2_{\text{aktivita}_i}

Předpoklad nezávislosti aktivit. Z $\sigma^2_{\text{projekt}}$ se odvozuje pravděpodobnost dokončení do plánovaného termínu pomocí standardizace na normální rozdělení.

7. Investiční vzorce

Plný výklad: investicni-rozhodovani-bot.

7.1 Net Present Value (NPV)

NPV = \sum_{t=0}^{T} \frac{CF_t}{(1 + r)^t}

$CF_t$ — čistý peněžní tok v roce $t$ ( $CF_0$ obvykle počáteční investice, záporné),
$r$ — diskontní sazba (cost of capital, WACC),
$T$ — doba životnosti projektu.

Pravidlo: $NPV > 0$ → projekt přijatelný; vyšší NPV → lepší projekt.

7.2 Internal Rate of Return (IRR)

\sum_{t=0}^{T} \frac{CF_t}{(1 + IRR)^t} = 0

IRR je sazba, při které $NPV = 0$ .

Pravidlo: $IRR > r$ → projekt přijatelný.

7.3 Payback period

Prostá doba návratnosti — rok $T_p$ , kdy kumulovaný $CF$ poprvé překročí 0:

\sum_{t=0}^{T_p} CF_t \geq 0

Diskontovaná doba návratnosti — totéž s diskontovanými $CF_t / (1+r)^t$ .

7.4 BOT vodní elektrárna — case study

Parametry projektu: 260 mil USD investice, 19 let provozu, 6 % diskontní sazba.

Citlivost na +2 % opex → posun bodu návratnosti o roky.
Citlivost na +15 % cena výstupu → výrazná amplifikace NPV po roce 12.
Demonstruje, že dlouhé projekty jsou hyper-citlivé na drobné změny vstupů.

8. McFarlanův 2×2 portfolio model

Plný výklad: mcfarlan-portfolio.

	Nízká business hodnota	Vysoká business hodnota
Vysoké tech znalosti	Factory (klíčové)	Strategické
Nízké tech znalosti	Support (podpůrné)	Turnaround (potenciální)

Strategic — IS/IT rozhoduje o konkurenceschopnosti, kritická investice.
Turnaround — vysoký byznys potenciál, ale zatím nezvládnutá technologie; pilotní projekty.
Factory — kritický pro provoz, ale ne pro budoucí strategii; spolehlivost a TCO.
Support — administrativní podpora; outsourcing nebo standardní řešení.

9. Lewinův model — tři fáze změny

Plný výklad: lewinuv-model.

Rozmrazení (Unfreezing) — analýzy, komunikace nutnosti změny, snížení odporu, alokace zdrojů, identifikace agenta změny.
Vlastní změna (Moving) — agent provede zásah ve 4 intervenčních oblastech:
- lidé (HR — nábor, rekvalifikace),
- struktura (organigram, role),
- technologie (IS/IT, výrobní postupy),
- komunikace (procesy, informační toky).
Zmrazení (Refreezing) — fixace nového stavu, KPI, rituály, kultura, prevence relapsu.

9.1 Osm prvků schématu změny

Síly → sponzor → nositel (agent) → strategie → metody → realizace → zhodnocení (+ kontingenční plán). Plný popis v lewinuv-model.

10. EFQM model excelence

Plný výklad: kriticke-faktory-uspechu.

Celkem 1000 bodů, paritně rozdělených na předpoklady (50 %) a výsledky (50 %).

10.1 Předpoklady (500 bodů)

Kritérium	Body
Vedení	100
Pracovníci	90
Politika a strategie	90
Partnerství a zdroje	90
Procesy	140

10.2 Výsledky (500 bodů)

Kritérium	Body
Výsledky pracovníci	90
Výsledky zákazníci	200
Výsledky společnost	60
Klíčové výsledky výkonnosti	150

Procesy (140) a Zákazníci (200) jsou nejvíce vážená kritéria — odrážejí orientaci modelu na procesní výkonnost a zákaznickou hodnotu.

11. McKinsey 7S framework

Plný výklad: kriticke-faktory-uspechu.

Sedm vzájemně propojených prvků organizace (3 „hard" + 4 „soft"):

Prvek	Charakteristika
Strategy (strategie)	hard — směr a konkurenční výhoda
Structure (struktura)	hard — organigram, hierarchie
Systems (systémy)	hard — procesy, IS, řízení
Skills (schopnosti)	soft — klíčové kompetence firmy
Style (styl)	soft — manažerský styl, kultura vedení
Staff (spolupracovníci)	soft — lidé, talent, fluktuace
Shared values (sdílené hodnoty)	soft — kultura, vize, etika

Zlaté pravidlo 7S: všechny prvky musejí být vzájemně konzistentní. Změna jednoho prvku vyvolává tlak na ostatní.

12. Faktoring — náklady

Plný výklad: faktoring.

Tři složky nákladů faktoringu (postoupení pohledávek):

Úrok = base rate (PRIBOR / EURIBOR) + premium 1–4 % podle bonity klienta a sektoru.
Service fee = 1–3 % objemu pohledávek (administrativa, vymáhání, evidence).
Rezerva = 5–10 % zálohy zadržené do úhrady dlužníkem (kryje vratky, sporné pohledávky).

Recourse vs. non-recourse: s recourse (regrese) postupitel ručí za nedobytnost; non-recourse přenáší kreditní riziko na faktora — vyšší marže.

13. Diverzifikace — typy

Plný výklad: diverzifikace-rizik.

13.1 Strategické dělení

Vertikální — integrace v hodnotovém řetězci (dodavatelé, odběratelé).
Horizontální — rozšíření v rámci stejné úrovně (nové produkty pro stávající zákazníky).
Příbuzná — synergie know-how, technologie, distribuce.
Nepříbuzná — konglomerát, čistá portfolio diverzifikace.

13.2 Operativní dělení

Geografická — regiony, země, kontinenty.
Zákaznická — segmenty, žádný zákazník nad 20 % obratu.
Prodejních kanálů — retail, e-shop, B2B, marketplaces.
Dodavatelská — multi-sourcing, alternativní materiály.

Kritická — ohrožuje existenci firmy.
Důležitá — zásadní zásah do činnosti, ale řešitelný.
Běžná — operativní, kryté provozním rozpočtem.

14.2 Podle vlastností (3 dichotomie)

Pojem	Protiklad	Význam
Dynamické	Statické	Mění se v čase × stabilní v čase
Čisté	Spekulativní	Jen ztráta × ztráta i zisk
Celkové (systémové)	Dílčí (specifické)	Postihuje celý trh × jen jednu firmu

14.3 Kritická analýza — pět vlastností

Riziko je předmětem prioritní mitigace, pokud splňuje:

Ovlivnitelné firmou,
Dynamické (mění se),
Spekulativní (oboustranné),
Dílčí (specifické pro firmu),
Selhání podnikatelských subjektů (nejen externí příčiny).

15. Postoje k riziku

Plný výklad: definice-rizika.

Postoj	Charakteristika
Averze	Preferuje nižší výnos s nižším rizikem; vyžaduje rizikovou prémii
Sklon	Preferuje vyšší výnos i za cenu vyššího rizika
Neutrální	Rozhoduje pouze podle očekávané hodnoty $E(r)$

Postoj k riziku je subjektivní a vstupuje do hodnocení projektů přes diskontní sazbu (averzní investor → vyšší $r$ → nižší NPV).

16. Použití u zkoušky

Tip: Studenti ke zkoušce by měli umět napsat vzorce zpaměti ( $\sigma^2$ , $KV$ , $R = D \times P$ , $t_e$ , $NPV$ , $IRR$ ) a vysvětlit jejich praktické použití na konkrétní firmě — typický typ úlohy zkoušky kombinuje výpočet (numerický příklad) a interpretaci (proč zrovna tato metoda).

Doporučený postup u typové úlohy:

Identifikujte typ problému — měření rizika, hodnocení projektu, plánování síťové analýzy, klasifikace rizika.
Vyberte správný vzorec z této stránky.
Vyjmenujte proměnné a jejich hodnoty z textu úlohy.
Spočítejte — ručně nebo s kalkulačkou.
Interpretujte — slovně vysvětlete, co výsledek znamená pro rozhodování.

17. Související přehledy

Glosář pojmů kurzu — abecední slovník ~80 pojmů.
Risk management (IrmanK) — kurz — hub všech topic stránek.
irmank-cast-1 — 1. část přednášky (modely změny, síťová analýza).
irmank-cast-2 — 2. část přednášky (riziko a jeho měření, snižování, AI metody).