Měření rizika — statistické charakteristiky

Rozptyl σ²

Definice:

\sigma^2 = \sum_{i=1}^{n} (r_i - E(r))^2 \cdot P_i

kde:

$r_i$ — i-tá hodnota výnosu (či jiné finanční proměnné, např. ceny akcie, kurzu)
$E(r)$ — střední hodnota (očekávaný výnos), $E(r) = \sum_{i=1}^{n} r_i \cdot P_i$
$P_i$ — pravděpodobnost i-té hodnoty (nebo $1/n$ pro empirické rozdělení z historických dat)
$n$ — počet pozorování

Rozptyl měří kvadratickou odchylku od průměru. Kvadratický tvar má tři důvody: (1) eliminuje znaménka odchylek (zisky a ztráty se nevykrátí), (2) silněji penalizuje větší odchylky, (3) má příjemné matematické vlastnosti (aditivita pro nezávislé veličiny).

Jednotka: kvadrát původní jednotky (Kč², %²) — nepraktické pro interpretaci, proto se v praxi používá σ.

Směrodatná odchylka σ

Definice:

\sigma = \sqrt{\sigma^2}

Stejné jednotky jako $r_i$ (Kč, %, atd.) — proto interpretačně použitelná.
Praktická interpretace: typická odchylka výnosu (či ceny) od průměru.
Pro normální rozdělení platí pravidlo 68–95–99,7 %: 68 % pozorování leží v intervalu $E(r) \pm \sigma$ , 95 % v $E(r) \pm 2\sigma$ , 99,7 % v $E(r) \pm 3\sigma$ .

Grafická interpretace

irmank-mereni-rizika-odchylky

Na časové řadě je vodorovná linie střední hodnoty $E$ (očekávaný výnos / průměrná cena). Body $r_1, r_2, r_3, \dots, r_n$ jsou jednotlivé pozorované hodnoty. Vertikální vzdálenosti $(r_i - E)$ jsou jednotlivé odchylky:

Sčítají se kvadraticky (na druhou) → výsledek je $\sigma^2$ .
Nezáleží na tom, jestli je odchylka kladná (nad linií) nebo záporná (pod linií) — kvadrát ji vždy učiní kladnou.
Vyšší rozptyl bodů kolem E = vyšší σ = vyšší volatilita = vyšší riziko.
Aktivum, jehož ceny leží těsně u E, je nízkorizikové; aktivum s body rozptýlenými daleko od E je vysoce rizikové.

Příklad: akcie ČS

Konkrétní výpočet :

Cena akcie ČS: 179,14 Kč (střední hodnota $E$ )
Směrodatná odchylka: σ ≈ 8,95 Kč (≈ 5 % z ceny)
Výpočet proveden z empirického rozdělení historických cen.

Interpretace:

Typická odchylka ceny od střední hodnoty 179,14 Kč je ±8,95 Kč.
V intervalu 170,19 – 188,09 Kč by se mělo nacházet zhruba 68 % pozorování (za předpokladu normálního rozdělení).
Riziková expozice: investice 1 000 000 Kč do této akcie znamená typický pohyb hodnoty portfolia ±50 000 Kč. Investor s tímto údajem může nastavit stop-loss limit, kapitálovou rezervu nebo se rozhodnout pro hedging.

Koeficient variace KV

Definice:

KV\,(\%) = \frac{\sigma}{E(r)} \cdot 100\,\%

Vlastnosti:

Bezrozměrný (resp. v procentech) — umožňuje srovnání rizik různě velkých aktiv.
Vyšší KV = vyšší relativní riziko na jednotku výnosu.
Řeší limit σ: srovnání σ = 10 Kč pro akcii za 200 Kč a σ = 10 Kč pro dluhopis za 10 000 Kč by bylo zavádějící — KV ukáže, že akcie je padesátkrát rizikovější.

Příklad — akcie ČS: σ = 8,95 Kč, E = 179,14 Kč → KV = 8,95 / 179,14 ≈ 5 %.

Srovnání: státní dluhopis se σ = 0,5 Kč a E = 1 000 Kč → KV = 0,05 %. Akcie ČS je tedy ve smyslu KV přibližně 100× rizikovější než státní dluhopis, ačkoli σ se liší jen 18× — relativní pohled mění obrázek dramaticky.

Praktický postup výpočtu

1. Sběr historických hodnot r₁, r₂, ..., r_n.
 (Časová řada cen / výnosů z databáze nebo tržních dat.)

2. Výpočet střední hodnoty:
 E(r) = (1/n) · Σ r_i

3. Výpočet rozptylu:
 σ² = (1/n) · Σ (r_i − E)²
 Pozn.: pro výběrový rozptyl se dělí (n−1), pro populační n.

4. Výpočet směrodatné odchylky:
 σ = √σ²

5. Výpočet koeficientu variace:
 KV = σ / E(r) (případně · 100 % pro vyjádření v procentech)

Populační vs. výběrový rozptyl: pokud máme celý soubor (všechna pozorování), používá se dělitel $n$ — populační rozptyl. Pokud pracujeme s náhodným výběrem z větší populace a chceme nezkreslený odhad, používá se dělitel $n-1$ (Besselova korekce) — výběrový rozptyl. Pro velká $n$ je rozdíl zanedbatelný; v Excelu odpovídají funkce VAR.P (populační) a VAR.S (výběrový).

Tabulka klasifikace rizik podle KV

Orientační hodnoty pro klasifikaci aktiva podle relativního rizika:

KV (%)	Klasifikace
< 5 %	Velmi nízké
5–15 %	Nízké
15–30 %	Střední
30–50 %	Vysoké
> 50 %	Velmi vysoké, spekulativní

Omezení statistických charakteristik

Statistické charakteristiky mají několik důležitých předpokladů a slabin, které je nutné si uvědomit:

Předpoklad normálního rozdělení. σ je optimální popis variability pro Gaussovo rozdělení. Reálné finanční výnosy mají často tlusté konce (fat tails) — extrémní události jsou pravděpodobnější, než předpovídá normální rozdělení. σ pak podhodnocuje skutečné riziko.
Symetrie. σ stejně váží zisky i ztráty. Pro investora je ale klíčový jen ztrátový směr. Pro asymetrická aktiva (opce, strukturované produkty) jsou vhodnější metriky VaR (Value at Risk), CVaR (Conditional VaR) nebo semivariance (jen ztrátová strana).
Stacionární předpoklad. σ se počítá z minulých dat. Pokud se režim trhu změní (krize 2008, COVID 2020, geopolitické šoky, nová regulace), historická σ podhodnocuje budoucí riziko.
Černé labutě (Nassim Taleb zdrojové prezentace). σ ze své podstaty neumí zachytit ojedinělé katastrofické události — události s extrémně nízkou pravděpodobností a extrémně vysokým dopadem leží mimo doménu klasické statistiky. Pro tyto případy je nutný stresový test, scénářová analýza nebo opční hedging.

Vztah měření a mapy rizik

σ a KV poskytují kvantitativní vstup pro mapu rizik (osy pravděpodobnost × dopad). Pravděpodobnost překročení určitého ztrátového limitu se odvodí z rozdělení (např. $P(r < -2\sigma) \approx 2{,}5\,\%$ při normálním rozdělení).
V praxi se kombinuje kvantitativní (σ, KV, VaR) a kvalitativní hodnocení (5-stupňové škály typu "1 = nepatrné, 5 = katastrofální").
Pro nekvantifikovatelná rizika (reputační, právní, regulatorní) chybí historická data — tam se používá pouze kvalitativní mapa s odhadem expertů.

Použití v PERT

V síťové analýze projektu (PERT — Program Evaluation and Review Technique) se rozptyl používá pro odhad nejistoty trvání jednotlivých aktivit:

\sigma^2_{\text{aktivita}} = \left(\frac{b - a}{6}\right)^2

kde:

$a$ — optimistický odhad trvání aktivity
$b$ — pesimistický odhad trvání aktivity
$m$ — nejpravděpodobnější odhad (vstupuje do očekávaného trvání $E = (a + 4m + b)/6$ , ale ne do σ²)

Rozptyl celého projektu je součtem rozptylů aktivit ležících na kritické cestě. Z toho lze odvodit pravděpodobnost, že projekt skončí do plánovaného termínu (cross-link sitova-analyza-cpm-pert).

Souvislosti

definice-rizika — kvalitativní pohled na riziko (pravděpodobnost × dopad), který σ a KV kvantifikují.
mapa-rizik — vizualizace pravděpodobnost × dopad; σ poskytuje kvantitativní polohu na osách.
klasifikace-rizik — KV slouží jako vstup pro klasifikaci aktiva do rizikových kategorií.
sitova-analyza-cpm-pert — PERT využívá σ² aktivit pro odhad rozptylu celkového trvání projektu na kritické cestě.
Cross-course:
fuzzy-logika (ipmrk) — alternativa pro popis nejistoty, která se nedá vyjádřit pravděpodobnostně (lingvistické proměnné).
predikce (ipmrk) — predikce budoucí volatility (např. pomocí neuronových sítí nebo modelů typu GARCH) jako vstup pro σ.

Navigace

Předchozí: definice-rizika
Navazující: analyza-rizik-proces
Související: mapa-rizik, klasifikace-rizik