Kontingenční tabulky

V kostce

Kontingenční tabulka zaznamenává simultánní četnosti dvou kvalitativních znaků naměřených na stejném souboru.
Test nezávislosti srovnává pozorované četnosti s očekávanými za platnosti $H_0$ pomocí statistiky $\chi^2$ ; rozhoduje kritický obor $W$ , prakticky p-hodnota.
Aproximace $\chi^2$ rozdělením platí jen tehdy, když jsou očekávané četnosti dostatečně velké — proto se vždy kontrolují.
Zamítnutí $H_0$ samo o sobě neříká, jak silná závislost je — na to slouží Cramérův koeficient kontingence $V$ .
Čtyřpolní tabulka (2×2) je speciální případ s vlastním zjednodušeným vzorcem pro $n>40$ .
Pro párová data (stejné prvky měřené dvakrát, např. před/po zásahu) se používá McNemarův test, ne obyčejný test nezávislosti.

Kontingenční tabulka

V rámci Metody aplikované statistiky navazují kontingenční tabulky na testování statistických hypotéz: místo jedné náhodné veličiny teď sledujeme dva kvalitativní (kategoriální) znaky současně a ptáme se, zda spolu souvisí.

Znak je kvantitativní, pokud nabývá číselných hodnot (stáří, stav tachometru), a kvalitativní (kategoriální), pokud nabývá slovních variant (vzdělání, kuřák/nekuřák). Kvalitativní znaky dále dělíme na alternativní (dvě varianty, např. vada ano/ne) a množné (více než dvě varianty, např. svobodný/rozvedený/ženatý).

Mějme $n$ opakování pokusu, při nichž sledujeme dva kvalitativní znaky $A$ (varianty $A_1,\dots,A_r$ ) a $B$ (varianty $B_1,\dots,B_s$ ). Výsledky zapíšeme do kontingenční tabulky: v políčku $(i,j)$ je simultánní četnost $n_{ij}$ , tedy počet pokusů s variantou $A_i$ zároveň s variantou $B_j$ . Řádkové a sloupcové součty jsou marginální četnosti:

n_{i\bullet} = \sum_{j=1}^{s} n_{ij}, \qquad n_{\bullet j} = \sum_{i=1}^{r} n_{ij}, \qquad n = \sum_{i=1}^r\sum_{j=1}^s n_{ij}

$A \backslash B$	$B_1$	$B_2$	…	$B_s$	$n_{i\bullet}$
$A_1$	$n_{11}$	$n_{12}$	…	$n_{1s}$	$n_{1\bullet}$
$A_2$	$n_{21}$	$n_{22}$	…	$n_{2s}$	$n_{2\bullet}$
⋮	⋮	⋮	⋱	⋮	⋮
$A_r$	$n_{r1}$	$n_{r2}$	…	$n_{rs}$	$n_{r\bullet}$
$n_{\bullet j}$	$n_{\bullet 1}$	$n_{\bullet 2}$	…	$n_{\bullet s}$	$n$

Vydělením četností počtem opakování $n$ dostaneme odhady pravděpodobností:

\hat p_{ij} = \frac{n_{ij}}{n}, \qquad \hat p_{i\bullet} = \frac{n_{i\bullet}}{n}, \qquad \hat p_{\bullet j} = \frac{n_{\bullet j}}{n}

Test nezávislosti dvou kvalitativních znaků

Test ověřuje, zda varianty znaku $A$ a varianty znaku $B$ jsou na sobě nezávislé, tedy zda simultánní pravděpodobnost je součinem marginálních pravděpodobností.

Postup testu:

$H_0: p_{ij} = p_{i\bullet}\,p_{\bullet j}$ pro všechna $i = 1,\dots,r$ , $j = 1,\dots,s$ (znaky jsou na sobě nezávislé) proti $H_1$ : znaky jsou závislé.
Testové kritérium $\chi^2 = \sum_{i=1}^{r}\sum_{j=1}^{s} \frac{(n_{ij} - n\hat p_{ij})^2}{n\hat p_{ij}}, \qquad \hat p_{ij} = \hat p_{i\bullet}\,\hat p_{\bullet j}$
má asymptoticky Pearsonovo ( $\chi^2$ ) rozdělení o $(r-1)(s-1)$ stupních volnosti. Hodnota $n\hat p_{ij} = \dfrac{n_{i\bullet}n_{\bullet j}}{n}$ je očekávaná četnost políčka $(i,j)$ — četnost, kterou bychom čekali, kdyby $H_0$ platila.
Kritický obor: $W = \{\chi^2 : \chi^2 \ge \chi^2_{1-\alpha}((r-1)(s-1))\}$ .
Padne-li testové kritérium do $W$ , zamítáme na hladině $\alpha$ nulovou hypotézu o nezávislosti a přijímáme $H_1$ ; jinak nemáme důvod $H_0$ zamítnout.

V R počítá test i očekávané četnosti funkce chisq.test().

Příklad: nákup potravin na internetu a vzdělání

Testujte hypotézu, zda se vzájemně ovlivňuje zkušenost s nákupem potravin na internetu a vzdělání respondenta (n = 385 respondentů).

Základní soubor: respondenti; výběrový soubor: respondenti, kteří odpověděli; měřený znak A: vzdělání, měřený znak B: způsob nákupu.

vzdělání \ nákup	ano	ne, ale plánuji	ne, neplánuji	$n_{i\bullet}$
SŠ bez maturity	4	13	12	29
SŠ s maturitou, VOŠ	31	62	71	164
VŠ	44	58	66	168
ZŠ	3	9	12	24
$n_{\bullet j}$	82	142	161	385

$H_0: p_{ij} = p_{i\bullet}p_{\bullet j}$ — vzdělání a způsob nákupu jsou na sobě nezávislé.

tab1 <- matrix(c(4, 13, 12,
                 31, 62, 71,
                 44, 58, 66,
                 3,  9, 12),
               nrow = 4, byrow = TRUE,
               dimnames = list(
                 vzdelani = c("SS bez maturity", "SS s maturitou nebo VOS", "VS", "ZS"),
                 nakup    = c("ano", "ne, ale planuji", "ne, neplanuji")))
chisq.test(tab1)
chisq.test(tab1)$expected

    Pearson's Chi-squared test

data:  tab1
X-squared = 5.4875, df = 6, p-value = 0.483

                         nakup
vzdelani                        ano ne, ale planuji ne, neplanuji
  SS bez maturity          6.176623       10.696104      12.12727
  SS s maturitou nebo VOS 34.929870       60.488312      68.58182
  VS                      35.781818       61.963636      70.25455
  ZS                       5.111688        8.851948      10.03636

Všechny očekávané četnosti jsou nad 5, aproximace je v pořádku. Testové kritérium $\chi^2 = 5{,}49$ s $6$ stupni volnosti dává p-hodnotu $0{,}483 > 0{,}05$ : $H_0$ nezamítáme, závislost mezi zkušeností s nákupem potravin na internetu a vzděláním respondenta se neprokázala.

Příklad: vzdělání a zveřejňování citlivých údajů na Facebooku

Mezi 221 osobami bylo zaznamenáno vzdělání a zda zveřejňují na Facebooku citlivé údaje. Proveďte test nezávislosti.

zveřejňuje \ vzdělání	SŠ	VŠ	ZŠ
ne	20	33	39
ano	25	28	76

$H_0: p_{ij} = p_{i\bullet}p_{\bullet j}$ — vzdělání a zveřejňování citlivých údajů jsou na sobě nezávislé.

tab2 <- matrix(c(20, 33, 39,
                 25, 28, 76),
               nrow = 2, byrow = TRUE,
               dimnames = list(
                 zverejnuje = c("ne", "ano"),
                 vzdelani   = c("SS", "VS", "ZS")))
chisq.test(tab2)
chisq.test(tab2)$expected

    Pearson's Chi-squared test

data:  tab2
X-squared = 6.8677, df = 2, p-value = 0.03226

          vzdelani
zverejnuje       SS       VS      ZS
       ne  18.73303 25.39367 47.8733
       ano 26.26697 35.60633 67.1267

I zde jsou všechny očekávané četnosti nad 5. Testové kritérium $\chi^2 = 6{,}87$ s $2$ stupni volnosti dává p-hodnotu $0{,}032 < 0{,}05$ : $H_0$ zamítáme — na rozdíl od předchozího příkladu tady vzdělání a zveřejňování citlivých údajů na Facebooku na sobě závisí.

Srovnání pozorovaných a očekávaných četností ukazuje, proč jeden příklad $H_0$ nezamítá a druhý ano — ve druhém se pozorované sloupce (zejména u ZŠ) systematicky odchylují od očekávaných, v prvním kolísají jen náhodně kolem nich:

mask-kt-observed-expected

Totéž je vidět na rozdělení testového kritéria: u prvního příkladu leží $\chi^2$ hluboko pod kritickou hodnotou, u druhého uvnitř kritického oboru $W$ :

mask-kt-chi2-kriticky-obor

Cramérův koeficient kontingence

Test nezávislosti pouze rozhodne, zda jsou znaky závislé, nebo ne. Sílu závislosti měří Cramérův koeficient kontingence:

V = \sqrt{\frac{\chi^2}{n(m-1)}}, \qquad m = \min(r, s)

kde $\chi^2$ je hodnota testového kritéria z testu nezávislosti. $V = 0$ odpovídá úplné nezávislosti znaků, $V = 1$ jejich úplné závislosti.

V1 <- sqrt(as.numeric(chisq.test(tab1)$statistic) / (sum(tab1) * (min(dim(tab1)) - 1)))
V2 <- sqrt(as.numeric(chisq.test(tab2)$statistic) / (sum(tab2) * (min(dim(tab2)) - 1)))
V1
V2

[1] 0.08441958
[1] 0.1762822

mask-kt-cramerovo-v

U nákupu potravin je $V = 0{,}084$ zanedbatelné — ostatně $H_0$ jsme ani nezamítli. U zveřejňování údajů je $V = 0{,}176$ : $H_0$ jsme zamítli, ale samotná závislost je stále slabá.

Čtyřpolní tabulka

Čtyřpolní tabulka je speciální případ kontingenční tabulky, kdy oba znaky $A$ i $B$ mají jen dvě varianty ( $r = s = 2$ ):

$A \backslash B$	$B_1$	$B_2$	$n_{i\bullet}$
$A_1$	$n_{11}$	$n_{12}$	$n_{1\bullet}$
$A_2$	$n_{21}$	$n_{22}$	$n_{2\bullet}$
$n_{\bullet j}$	$n_{\bullet 1}$	$n_{\bullet 2}$	$n$

Pro $n > 40$ se místo obecného vzorce používá zjednodušená varianta testového kritéria:

\chi^2 = n\,\frac{(n_{11}n_{22} - n_{12}n_{21})^2}{n_{1\bullet}n_{2\bullet}n_{\bullet 1}n_{\bullet 2}}

s kritickým oborem $W_\alpha = \{\chi^2 : \chi^2 \ge \chi^2_{1-\alpha}(1)\}$ — formálně jde o stejný test nezávislosti jako výše, jen dosazený do zjednodušeného tvaru pro $(r-1)(s-1) = 1$ stupeň volnosti. V R dává tuto hodnotu chisq.test(tab, correct = FALSE). Bez correct = FALSE R u tabulky 2 × 2 použije Yatesovu korekci na kontinuitu a testové kritérium vyjde menší.

McNemarův test

Čtyřpolní tabulka z předchozí sekce porovnává dva různé znaky na stejném souboru. McNemarův test řeší jinou situaci: na prvcích základního souboru se měří jeden alternativní znak, a to dvakrát — před a po nějakém zásahu. Cílem je zjistit, zda zásah změnil pravděpodobnostní rozdělení variant tohoto znaku. Jde tedy o párová data (stejné prvky měřené opakovaně), ne o dva nezávisle naměřené znaky.

Kontingenční tabulka před/po má tvar:

před \ po	+	−	$n_{i\bullet}$
+	$n_{11}$	$n_{12}$	$n_{1\bullet}$
−	$n_{21}$	$n_{22}$	$n_{2\bullet}$
$n_{\bullet j}$	$n_{\bullet 1}$	$n_{\bullet 2}$	$n$

Pole $n_{11}$ a $n_{22}$ jsou shodná (prvek zůstal ve stejné variantě), pole $n_{12}$ a $n_{21}$ jsou diskordantní (prvek mezi měřeními variantu změnil) — jen ta rozhodují o výsledku testu:

mask-kt-mcnemar-tabulka

Postup testu:

$H_0: p_{12} = p_{21}$ — pravděpodobnost přechodu z varianty (+) do (−) je stejná jako pravděpodobnost přechodu z (−) do (+); zásah tedy nemá na rozdělení variant žádný vliv.
Testové kritérium $\chi^2 = \frac{(n_{12} - n_{21})^2}{n_{12} + n_{21}}$
má asymptoticky Pearsonovo rozdělení o $1$ stupni volnosti.
Kritický obor: $W = \{\chi^2 : \chi^2 \ge \chi^2_{1-\alpha}(1)\}$ .
Padne-li testové kritérium do $W$ , zamítáme $H_0$ a přijímáme $H_1$ : zásah rozdělení variant změnil.

V R počítá tento test funkce mcnemar.test(). Vzorec výše neobsahuje korekci na kontinuitu — aby R vrátilo přesně tuto hodnotu, musí se volat s correct = FALSE (viz Časté chyby níže).

Příklad: informační kampaň a zveřejňování na Facebooku

U 170 studentů bylo zjišťováno, zda zveřejňují své údaje na Facebooku. Poté proběhla informační kampaň o rizicích zveřejňování a zjišťování se opakovalo. Posuďte, zda měla kampaň vliv na změnu chování studentů.

Základní soubor: všichni studenti; výběrový soubor: vybraní studenti; měřený znak: zveřejňování (ano / ne).

před \ po	nezveřejňuje	zveřejňuje	$n_{i\bullet}$
nezveřejňuje	24	68	92
zveřejňuje	28	50	78
$n_{\bullet j}$	52	118	170

$H_0: p_{12} = p_{21}$ — informační kampaň nemá na chování vliv.

tab3 <- matrix(c(24, 68,
                 28, 50),
               nrow = 2, byrow = TRUE,
               dimnames = list(
                 pred = c("nezverejnuje", "zverejnuje"),
                 po   = c("nezverejnuje", "zverejnuje")))
mcnemar.test(tab3, correct = FALSE)

    McNemar's Chi-squared test

data:  tab3
McNemar's chi-squared = 16.667, df = 1, p-value = 4.456e-05

P-hodnota $0{,}00004456 < 0{,}05$ : $H_0$ zamítáme, přijímáme $H_1$ — informační kampaň měla vliv na změnu chování studentů ve zveřejňování údajů na Facebooku.

Časté chyby

chisq.test(tab3)

    Pearson's Chi-squared test with Yates' continuity correction

data:  tab3
X-squared = 1.4793, df = 1, p-value = 0.2239

P-hodnota $0{,}224 > 0{,}05$ by vedla k nezamítnutí $H_0$ — opačný závěr než správný McNemarův test. Na párovaná data (stejné prvky měřené dvakrát) vždy patří mcnemar.test(), nikdy chisq.test().

mcnemar.test(tab3)

    McNemar's Chi-squared test with continuity correction

data:  tab3
McNemar's chi-squared = 15.844, df = 1, p-value = 6.879e-05

Oproti nekorigované hodnotě $p = 0{,}00004456$ vyjde $p = 0{,}00006879$ — v tomto příkladu obě vedou ke stejnému rozhodnutí, ale u hodnot blíž hranici $\alpha$ by korekce mohla rozhodnutí změnit. Aby R reprodukovalo nekorigovaný vzorec, je třeba vždy volat mcnemar.test(x, correct = FALSE).

Související stránky

Reference

KROPÁČ, J. Statistika A. 4. vyd. Brno: Fakulta podnikatelská VUT, 2011.