Testování statistických hypotéz

V kostce

Test porovnává tvrzení $H_0$ s alternativou $H_1$ pomocí testového kritéria spočteného z výběru; padne-li kritérium do kritického oboru $W$ , $H_0$ zamítáme.
Rozhodnutí nese dva typy chyb: chybu I. druhu ( $\alpha$ , zamítnutí platné $H_0$ ) a chybu II. druhu ( $\beta$ , přijetí neplatné $H_0$ ). Hladina významnosti $\alpha$ se volí předem, obvykle 0,05.
Pro střední hodnotu normálního rozdělení slouží jednovýběrový a párový t-test; pro srovnání dvou souborů F-test (rozptyly) a dvouvýběrový t-test (střední hodnoty).
Normalitu ověřuje Shapiro-Wilkův test, shodu s libovolným rozdělením Kolmogorov-Smirnovův test; při porušené normalitě nastupují neparametrické testy (Wilcoxonovy, Kruskalův-Wallisův, mediánový, Friedmanův).
Rozhodnutí lze číst dvěma rovnocennými způsoby — podle polohy kritéria vůči $W$ , nebo podle p-hodnoty vůči $\alpha$ .

Testy statistických hypotéz jsou nástroj Metod aplikované statistiky pro rozhodování o parametrech nebo tvaru rozdělení na základě náhodného výběru, nikoli vyčerpávajícího šetření celého základního souboru. Vycházejí z charakteristik, které lze předem spočítat jako popisnou statistiku výběru, a z rozdělení uvedených u náhodných veličin (normální, $t$ , $F$ ).

Statistická hypotéza a její test

Statistická hypotéza je předpoklad o parametru nebo tvaru rozdělení zkoumaného znaku — například že určitý typ auta má průměrnou spotřebu 7 l/100 km. Ověřit ji na celém základním souboru je obvykle neekonomické nebo technicky neproveditelné, a tak se posuzuje na výběru. Testování hypotéz je proces ověření správnosti nebo nesprávnosti hypotézy pomocí výsledků získaných náhodným výběrem.

Proti sobě stojí dvě hypotézy:

Nulová hypotéza $H_0$ — tvrzení o parametru nebo rozdělení, které chceme ověřit.
Alternativní hypotéza $H_1$ — staví se proti $H_0$ a určitým způsobem popírá její tvrzení.

Pro $H_0: \mu = \mu_0$ existují tři varianty $H_1$ :

Tvar $H_1$	Zápis	Typ
nerovnost	$H_1: \mu \neq \mu_0$	dvoustranná
větší	$H_1: \mu > \mu_0$	jednostranná
menší	$H_1: \mu < \mu_0$	jednostranná

Chyba I. a II. druhu

Protože je úsudek odvozen z náhodného výběru, může vést ke dvěma typům chybného rozhodnutí:

Chyba I. druhu — zamítnutí $H_0$ , ačkoliv ve skutečnosti platí. Pravděpodobnost $\alpha$ .
Chyba II. druhu — přijetí $H_0$ , ačkoliv platí $H_1$ . Pravděpodobnost $\beta$ .

Úsudek o $H_0$	$H_0$ platí	$H_0$ neplatí
Nezamítá se	správné rozhodnutí, $1-\alpha$	chyba II. druhu, $\beta$
Zamítá se	chyba I. druhu, $\alpha$	správné rozhodnutí, $1-\beta$

Hladina významnosti $\alpha$ je předem pevně zvolená pravděpodobnost chyby I. druhu (klasicky 5 %). Testovací postup je odvozen tak, aby při dané hladině významnosti zajišťoval minimální pravděpodobnost chyby II. druhu.

mask-th-chyba-i-ii

Obrázek ukazuje, proč jde o kompromis: posunutí kritické hodnoty $c$ doleva zmenší $\beta$ , ale zvětší $\alpha$ , a naopak. Pro danou hladinu $\alpha$ je $c$ jednoznačně určena rozdělením kritéria za platnosti $H_0$ .

Testové kritérium a kritický obor

Testové kritérium $T$ je statistika spočtená z výběru; aby bylo možné test provést, musí být známo jeho rozdělení za platnosti $H_0$ .

Kritický obor $W$ je množina hodnot svědčících pro $H_1$ . Je zkonstruován tak, aby

P(T \in W \mid H_0) = \alpha,

tedy aby pravděpodobnost, že výběr dá hodnotu kritéria v $W$ i při platné $H_0$ , byla rovna zvolené hladině významnosti.

Postup testování hypotézy

mask-ilu-postup-testovani

Formulace hypotéz $H_0$ a $H_1$ .
Volba testového kritéria a výpočet jeho hodnoty.
Volba hladiny významnosti a sestrojení příslušného kritického oboru $W$ .
Formulace závěru:
- pokud $T \in W$ : $H_1$ je testem prokázána na hladině významnosti $100\alpha\,\%$ (zamítáme $H_0$ );
- pokud $T \notin W$ : $H_1$ není testem prokázána na hladině významnosti $100\alpha\,\%$ ; $H_0$ nezamítáme.

Rovnocennou alternativou je p-hodnota: udává, nakolik jsou data slučitelná s $H_0$ . Čím menší p-hodnota, tím více data svědčí proti $H_0$ . Rozhodovací pravidlo: $p \le \alpha \Rightarrow$ zamítáme $H_0$ ; $p > \alpha \Rightarrow$ $H_0$ nezamítáme. Obě cesty — kritický obor i p-hodnota — vedou vždy ke stejnému závěru; R u všech testů vrací p-hodnotu přímo.

Jednovýběrový t-test

Test o střední hodnotě $\mu$ rozdělení $X \sim N(\mu, \sigma^2)$ . Z výběru o rozsahu $n$ se určí charakteristiky $\bar{x}$ a $s^2$ ; testem se posuzuje vztah mezi zvoleným číslem $\mu_0$ a neznámou hodnotou $\mu$ . Testové kritérium

T = \frac{\bar{x} - \mu_0}{s}\sqrt{n} \sim t_{n-1}

má Studentovo rozdělení o $n-1$ stupních volnosti.

$H_0$	$H_1$	Kritický obor $W$
$\mu \le \mu_0$	$\mu > \mu_0$	$t \ge t_{1-\alpha}(n-1)$
$\mu = \mu_0$	$\mu \neq \mu_0$	$\lvert t \rvert \ge t_{1-\alpha/2}(n-1)$
$\mu \ge \mu_0$	$\mu < \mu_0$	$t \le -t_{1-\alpha}(n-1)$

V R test provádí t.test(). Autobusová linka měla na trase průměrnou dobu jízdy 12 minut; po úpravě trasy se při devíti jízdách naměřily časy v minutách. Ovlivnila úprava trasy dobu jízdy?

x <- c(12.5, 13.5, 11.9, 12.2, 13.0, 14.3, 12.2, 11.8, 14.0)
t.test(x, mu = 12, alternative = "two.sided")

    One Sample t-test

data:  x
t = 2.6685, df = 8, p-value = 0.02843
alternative hypothesis: true mean is not equal to 12
95 percent confidence interval:
 12.11169 13.53275
sample estimates:
mean of x 
 12.82222

t je testové kritérium, df stupně volnosti, p-value p-hodnota pro zvolenou alternativu a mean of x výběrový průměr. Zde $p = 0{,}02843 < 0{,}05$ : úprava trasy průměrnou dobu jízdy (původně 12 minut) statisticky významně změnila.

Ze souhrnných charakteristik bez surových dat t.test() spustit nelze — kritérium a kritická hodnota se dopočítají přímo z definice pomocí qt():

xbar <- 0.492; s <- 0.015; n <- 20; mu0 <- 0.5
t <- (xbar - mu0) / s * sqrt(n)
t_krit <- qt(0.05, df = n - 1)
t
t_krit

[1] -2.385139
[1] -1.729133

mask-th-t-jednostranny

Další dva příklady mají k dispozici surová data, takže je lze otestovat přímo t.test():

Životnost baterií. Výrobce udává průměrnou životnost 10 hodin, na 11 bateriích byly naměřeny hodnoty v hodinách.

x2 <- c(9.5, 10.5, 8.9, 9.2, 10.0, 8.5, 9.2, 8.8, 10.0, 9.5, 9.2)
t.test(x2, mu = 10, alternative = "two.sided")

    One Sample t-test

data:  x2
t = -3.42, df = 10, p-value = 0.006548
alternative hypothesis: true mean is not equal to 10
95 percent confidence interval:
 8.994081 9.787737
sample estimates:
mean of x 
 9.390909

$p = 0{,}006548 < 0{,}05$ : skutečná životnost se od deklarovaných 10 hodin statisticky významně liší (baterie vydrží méně).

Odpad materiálu. Na deseti obráběných kusech byl naměřen odpad materiálu v procentech; testuje se rozdíl proti 4 % a zároveň normalita dat.

x3 <- c(4.1, 4.0, 3.8, 3.9, 3.8, 3.8, 3.5, 3.7, 4.0, 4.0)
t.test(x3, mu = 4, alternative = "two.sided")
shapiro.test(x3)

    One Sample t-test

data:  x3
t = -2.4922, df = 9, p-value = 0.0343
alternative hypothesis: true mean is not equal to 4
95 percent confidence interval:
 3.732925 3.987075
sample estimates:
mean of x 
     3.86 

    Shapiro-Wilk normality test

data:  x3
W = 0.93156, p-value = 0.4634

$p = 0{,}0343 < 0{,}05$ : průměrný odpad se od 4 % statisticky významně liší (výběrový průměr 3,86 %). Shapiro-Wilkův test dává $p = 0{,}4634 > 0{,}05$ , předpoklad normality pro t-test je v pořádku.

Párový t-test

Používá se, když jsou měření závislá — na stejných objektech se měří dvě hodnoty $(X_i, Y_i)$ a vyhodnocují se jejich diference $D_i = X_i - Y_i$ , kde $D \sim N(\mu_D, \sigma_D^2)$ . Z $n$ dvojic se určí $\bar{d}$ a $s_d^2$ ; testuje se vztah mezi zvoleným číslem $\mu_0$ (obvykle 0) a $\mu_D$ . Testové kritérium

T = \frac{\bar{d} - \mu_0}{s_d}\sqrt{n} \sim t_{n-1}.

$H_0$	$H_1$	Kritický obor $W$
$\mu_D \le \mu_0$	$\mu_D > \mu_0$	$t \ge t_{1-\alpha}(n-1)$
$\mu_D = \mu_0$	$\mu_D \neq \mu_0$	$\lvert t \rvert \ge t_{1-\alpha/2}(n-1)$
$\mu_D \ge \mu_0$	$\mu_D < \mu_0$	$t \le -t_{1-\alpha}(n-1)$

dbar <- 0.4; sd_d <- 0.35; n <- 10
t <- (dbar - 0) / sd_d * sqrt(n)
t_krit <- qt(0.95, df = n - 1)
t
t_krit

[1] 3.614032
[1] 1.833113

Ověřte normalitu diferencí, ne jen výsledek testu

Realitní kancelář nechala dva odhadce ocenit osm nemovitostí (tisíce Kč):

estA <- c(3282, 2506, 2812, 5453, 3263, 4571, 3121, 2963)
estB <- c(3271, 2531, 2799, 5471, 3285, 4557, 3139, 2976)
t.test(estA, estB, paired = TRUE)
shapiro.test(estA - estB)

    Paired t-test

data:  estA and estB
t = -1.2157, df = 7, p-value = 0.2635
alternative hypothesis: true mean difference is not equal to 0
95 percent confidence interval:
 -21.351272   6.851272
sample estimates:
mean difference 
          -7.25 

    Shapiro-Wilk normality test

data:  estA - estB
W = 0.80456, p-value = 0.03203

Párový t-test sám nezamítá $H_0$ ( $p = 0{,}2635$ ): odhadci se podle něj neliší. Shapiro-Wilkův test na diferencích ale dává $p = 0{,}03203 < 0{,}05$ — předpoklad normality diferencí je porušen a výsledek t-testu proto není spolehlivý. Správný postup je ověřit normalitu diferencí dříve, než se párový t-test interpretuje, a při jejím porušení použít párový Wilcoxonův test (viz oddíl Neparametrické testy níže).

Testy o dvou základních souborech

Uvažují se dva nezávislé základní soubory $Z_1, Z_2$ se znakem $X \sim N(\mu_1, \sigma_1^2)$ v $Z_1$ a $X \sim N(\mu_2, \sigma_2^2)$ v $Z_2$ . Z výběrů se určí $\bar{x}_1, s_1^2$ a $\bar{x}_2, s_2^2$ . Testují se varianty vztahů mezi $\mu_1, \mu_2$ , resp. mezi $\sigma_1^2, \sigma_2^2$ .

F-test o rozptylech

Statistika

F = \frac{s_1^2}{s_2^2} \sim F_{n_1-1,\,n_2-1}

má Fisherovo-Snedecorovo rozdělení o $n_1-1$ a $n_2-1$ stupních volnosti.

$H_0$	$H_1$	Kritický obor $W$
$\sigma_1 \le \sigma_2$	$\sigma_1 > \sigma_2$	$F \ge F_{1-\alpha}(n_1-1, n_2-1)$
$\sigma_1 = \sigma_2$	$\sigma_1 \neq \sigma_2$	$F \le F_{\alpha/2}(n_1-1, n_2-1)$ nebo $F \ge F_{1-\alpha/2}(n_1-1, n_2-1)$
$\sigma_1 \ge \sigma_2$	$\sigma_1 < \sigma_2$	$F \le F_{\alpha}(n_1-1, n_2-1)$

Dvouvýběrový t-test o středních hodnotách

Volba statistiky závisí na tom, zda jsou rozptyly považovány za shodné:

T_1 = \frac{\bar{x}_1 - \bar{x}_2}{\sqrt{(n_1-1)s_1^2 + (n_2-1)s_2^2}}\sqrt{\frac{n_1+n_2-2}{\frac1{n_1}+\frac1{n_2}}}, \qquad t_p^* = t_p(n_1+n_2-2)

se použije, pokud jsou rozptyly $\sigma_1^2, \sigma_2^2$ alespoň přibližně shodné; při rozdílných rozptylech

T_2 = \frac{\bar{x}_1-\bar{x}_2}{\sqrt{s_1^2/n_1 + s_2^2/n_2}}, \qquad t_p^* = \frac{\dfrac{s_1^2}{n_1}t_p(n_1-1) + \dfrac{s_2^2}{n_2}t_p(n_2-1)}{\dfrac{s_1^2}{n_1}+\dfrac{s_2^2}{n_2}}.

$H_0$	$H_1$	Kritický obor $W$
$\mu_1 \le \mu_2$	$\mu_1 > \mu_2$	$t \ge t_p^*$
$\mu_1 = \mu_2$	$\mu_1 \neq \mu_2$	$\lvert t \rvert \ge t_p^*$
$\mu_1 \ge \mu_2$	$\mu_1 < \mu_2$	$t \le -t_p^*$

Postup je dvoukrokový: nejprve F-test rozhodne o shodě rozptylů, pak se podle výsledku zvolí $T_1$ nebo $T_2$ .

mask-th-f-kriticky-obor

Příklad: Porovnání dvou dodavatelů součástek

Pevnost plastových dílů: dodavatel A ( $n_1 = 10$ , $\bar{x}_1 = 82$ MPa, $s_1^2 = 25$ ), dodavatel B ( $n_2 = 12$ , $\bar{x}_2 = 75$ MPa, $s_2^2 = 16$ ). Předpokládá se normalita obou rozdělení.

Krok 1 — F-test rozptylů. $H_0: \sigma_1^2 = \sigma_2^2$ , $H_1: \sigma_1^2 \neq \sigma_2^2$ .

$F = \frac{25}{16} = 1{,}5625, \qquad W = \{F \le F_{0,025}(9,11) \;\text{nebo}\; F \ge F_{0,975}(9,11)\} = \{F \le 0{,}256 \;\text{nebo}\; F \ge 3{,}588\}$

$F \notin W$ , rozptyly nezamítáme jako shodné — pro t-test se použije $T_1$ .

Krok 2 — dvouvýběrový t-test středních hodnot. $H_0: \mu_1 = \mu_2$ , $H_1: \mu_1 \neq \mu_2$ .

$s_p^2 = \frac{9\cdot 25 + 11\cdot 16}{20} = 20{,}05, \qquad t = \frac{82-75}{\sqrt{20{,}05}}\sqrt{\frac{120}{22}} \approx 3{,}651, \qquad W = \{\lvert t\rvert \ge t_{0,975}(20)\} = \{\lvert t\rvert \ge 2{,}086\}$

$t \in W$ , zamítáme $H_0$ : pevnost součástek od obou dodavatelů se statisticky významně liší.

s1 <- 25; n1 <- 10
s2 <- 16; n2 <- 12
Fstat <- s1 / s2
F_dolni <- qf(0.025, n1 - 1, n2 - 1)
F_horni <- qf(0.975, n1 - 1, n2 - 1)
Fstat
F_dolni
F_horni

[1] 1.5625
[1] 0.2556189
[1] 3.587899

sp2 <- ((n1 - 1) * s1 + (n2 - 1) * s2) / (n1 + n2 - 2)
t <- (82 - 75) / sqrt(sp2) * sqrt(n1 * n2 / (n1 + n2))
t_krit <- qt(0.975, df = n1 + n2 - 2)
sp2
t
t_krit

[1] 20.05
[1] 3.65107
[1] 2.085963

mask-th-t-dvoustranny

V R provede obě kroky var.test() a t.test(). Parametr var.equal nastavuje volbu mezi $T_1$ a $T_2$ : TRUE znamená předpoklad shodných rozptylů (podle výsledku F-testu), FALSE předpoklad rozdílných rozptylů.

Kabely A/B. Pevnost v tahu dvou výrobců (MPa, 12 kabelů od každého):

A <- c(313, 299, 315, 312, 310, 308, 314, 313, 305, 310, 309, 314)
B <- c(307, 322, 313, 313, 311, 316, 315, 314, 308, 319, 313, 312)
var.test(A, B)
t.test(A, B, var.equal = TRUE)

    F test to compare two variances

data:  A and B
F = 1.1905, num df = 11, denom df = 11, p-value = 0.7776
alternative hypothesis: true ratio of variances is not equal to 1
95 percent confidence interval:
 0.3427173 4.1354275
sample estimates:
ratio of variances 
          1.190497 

    Two Sample t-test

data:  A and B
t = -1.9096, df = 22, p-value = 0.06932
alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0
95 percent confidence interval:
 -7.1273286  0.2939953
sample estimates:
mean of x mean of y 
 310.1667  313.5833

F-test shodu rozptylů nezamítá ( $p = 0{,}7776$ ), proto var.equal = TRUE. Výsledný t-test dává $p = 0{,}06932$ — na hladině 5 % se $H_0$ nezamítá, ale hodnota je těsně nad hranicí.

Výšky chlapců a dívek v páté třídě:

boys <- c(130, 140, 136, 141, 139, 133, 149, 151, 139, 136, 138, 142, 127, 139, 147)
girls <- c(135, 141, 143, 132, 146, 146, 151, 141, 141, 131, 142, 141)
var.test(boys, girls)
t.test(boys, girls, var.equal = TRUE)

    F test to compare two variances

data:  boys and girls
F = 1.2721, num df = 14, denom df = 11, p-value = 0.6977
alternative hypothesis: true ratio of variances is not equal to 1
95 percent confidence interval:
 0.3787299 3.9365720
sample estimates:
ratio of variances 
          1.272082 

    Two Sample t-test

data:  boys and girls
t = -0.70344, df = 25, p-value = 0.4883
alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0
95 percent confidence interval:
 -6.67727  3.27727
sample estimates:
mean of x mean of y 
 139.1333  140.8333

F-test shodu rozptylů nezamítá ( $p = 0{,}6977$ ), t-test s var.equal = TRUE dává $p = 0{,}4883$ : na hladině 5 % se rozdíl průměrných výšek chlapců a dívek neprokázal.

Testy dobré shody a normalita

Testy dobré shody ověřují, zda datový soubor pochází ze základního souboru s určitým typem rozdělení (normální, exponenciální apod.).

Kolmogorovův-Smirnovův test

Univerzální test pro spojitá rozdělení. Porovnává empirickou distribuční funkci $F_n(x)$ s teoretickou distribuční funkcí $F(x)$ testovaného rozdělení.

$H_0$ : odchylky mezi $F_n(x)$ a $F(x)$ jsou náhodné (data mají dané rozdělení).
$H_1$ : data nemají dané rozdělení.
Testové kritérium: $D = \sup_x \lvert F_n(x) - F(x) \rvert$ .
Kritický obor: $W_\alpha = \{d : d > D_\alpha(n)\}$ ; pro $n>30$ se kritická hodnota aproximuje zlomkem $1{,}36/\sqrt{n}$ .

V R test provádí ks.test(), kde se za F(x) dosadí příslušná distribuční funkce ("pnorm", "pexp", …) s jejími parametry:

x3 <- c(4.1, 4.0, 3.8, 3.9, 3.8, 3.8, 3.5, 3.7, 4.0, 4.0)
ks.test(x3, "pnorm", mean(x3), sd(x3))

    Asymptotic one-sample Kolmogorov-Smirnov test

data:  x3
D = 0.18469, p-value = 0.8847
alternative hypothesis: two-sided

$p = 0{,}8847 > 0{,}05$ : odpad materiálu je slučitelný s normálním rozdělením se stejným průměrem a směrodatnou odchylkou.

Shapiro-Wilkův test

Nejpoužívanější a nejsilnější obecný test normality, citlivý na odchylky v šikmosti i špičatosti. Využívá korelaci mezi uspořádanými hodnotami výběru a jejich očekávanými hodnotami v normálním rozdělení.

$H_0$ : data mají normální rozdělení.
$H_1$ : data nemají normální rozdělení.
Testová statistika $W \in \langle 0,1 \rangle$ ; hodnoty blízké 1 indikují shodu s normalitou.

Na rozdíl od ostatních testů v této kapitole se Shapiro-Wilkův test v praxi vyhodnocuje pouze přes p-hodnotu (tabulka kritických hodnot pro $W$ se běžně neudává): $p \ge \alpha \Rightarrow$ $H_0$ nezamítáme (normalitu lze předpokládat); $p < \alpha \Rightarrow$ $H_0$ zamítáme (předpoklad normality je porušen).

x2 <- c(9.5, 10.5, 8.9, 9.2, 10.0, 8.5, 9.2, 8.8, 10.0, 9.5, 9.2)
shapiro.test(x2)

    Shapiro-Wilk normality test

data:  x2
W = 0.96022, p-value = 0.7744

U dat o životnosti baterií se normalita nezamítá ( $p = 0{,}7744$ ), předpoklad t-testu je tedy splněn.

Příklad: Doba do poruchy výrobku

Zkoušky životnosti nového výrobku daly soubor 68 hodnot doby do poruchy (v minutách). Odhadněte charakteristiky a zákon rozdělení.

x9 <- c(101, 338, 150, 47, 10, 2, 12, 392, 5, 73, 367, 54, 114, 213, 71, 341, 313, 112, 343, 151,
        9, 160, 18, 113, 77, 71, 159, 12, 119, 130, 140, 161, 379, 54, 373, 168, 365, 110, 145,
        88, 74, 46, 246, 259, 19, 119, 48, 3, 163, 179, 194, 33, 49, 501, 193, 19, 5, 2, 221, 300,
        88, 13, 428, 249, 25, 209, 54, 91)
mean(x9)
sd(x9)
median(x9)
shapiro.test(x9)
ks.test(x9, "pexp", rate = 1 / mean(x9))

[1] 145.4412
[1] 126.1283
[1] 113.5

    Shapiro-Wilk normality test

data:  x9
W = 0.89872, p-value = 4.389e-05

    Asymptotic one-sample Kolmogorov-Smirnov test

data:  x9
D = 0.074727, p-value = 0.8421
alternative hypothesis: two-sided

Výběrový průměr (145,44 min) je blízký směrodatné odchylce (126,13 min) a medián (113,5 min) je výrazně nižší než průměr — typický tvar doby do poruchy. Shapiro-Wilkův test normalitu jasně zamítá ( $p < 0{,}0001$ ), zatímco Kolmogorov-Smirnovův test proti exponenciálnímu rozdělení se střední hodnotou $\bar{x}$ shodu nezamítá ( $p = 0{,}8421$ ): data odpovídají spíše exponenciálnímu rozdělení než normálnímu.

mask-th-exponencialni-shoda

Neparametrické testy

Když předpoklad normality neplatí, nahrazují t-testy jejich neparametrické obdoby — Wilcoxonovy testy posuzují medián ( $x_{0,5}$ ) místo střední hodnoty a nevyžadují normalitu dat.

Wilcoxonovy testy

$H_0$	$H_1$	Příkaz v R
$x_{0,5} \le c$	$x_{0,5} > c$	`wilcox.test(x, alternative = "greater", mu = c)`
$x_{0,5} = c$	$x_{0,5} \neq c$	`wilcox.test(x, alternative = "two.sided", mu = c)`
$x_{0,5} \ge c$	$x_{0,5} < c$	`wilcox.test(x, alternative = "less", mu = c)`

Jednovýběrový Wilcoxonův test (obdoba t-testu) posuzuje odchylku mediánu od konstanty $c$ .

Jednovýběrový Wilcoxonův test na diferencích (obdoba párového t-testu) posuzuje odchylku mediánu rozdílu $x_{0,5}-y_{0,5}$ od $c$ ; v R se volá se stejnými argumenty jako výše a navíc paired = TRUE.

Dvouvýběrový Wilcoxonův test (obdoba dvouvýběrového t-testu) posuzuje odchylku mediánů dvou nezávislých výběrů; argument mu odpadá. Pro výšky chlapců a dívek z příkladu výše:

boys <- c(130, 140, 136, 141, 139, 133, 149, 151, 139, 136, 138, 142, 127, 139, 147)
girls <- c(135, 141, 143, 132, 146, 146, 151, 141, 141, 131, 142, 141)
wilcox.test(boys, girls, alternative = "two.sided")

    Wilcoxon rank sum exact test

data:  boys and girls
W = 69, p-value = 0.315
alternative hypothesis: true location shift is not equal to 0

$p = 0{,}315 > 0{,}05$ : mediány výšek chlapců a dívek se statisticky významně neliší — stejný závěr jako u dvouvýběrového t-testu.

Příklad: Realitní odhadci — neparametrická alternativa

U odhadů cen z párového t-testu výše normalita diferencí neplatí ( $p = 0{,}03203$ ). Správnou volbou je párový Wilcoxonův test:

estA <- c(3282, 2506, 2812, 5453, 3263, 4571, 3121, 2963)
estB <- c(3271, 2531, 2799, 5471, 3285, 4557, 3139, 2976)
wilcox.test(estA, estB, paired = TRUE)

    Wilcoxon signed rank exact test

data:  estA and estB
V = 7.5, p-value = 0.1484
alternative hypothesis: true location shift is not equal to 0

$p = 0{,}1484 > 0{,}05$ : medián diferencí se od nuly statisticky významně neliší, odhadci se neliší. Závěr je stejný jako u (nespolehlivého) párového t-testu, ale tady je podložený testem, jehož předpoklady data splňují.

Kruskalův-Wallisův test

Zobecnění dvouvýběrového Wilcoxonova testu, neparametrická obdoba analýzy rozptylu jednoduchého třídění. $H_0$ : všechny výběry pocházejí ze stejného rozdělení.

kruskal.test(kvantitativní_proměnná ~ faktor, data = soubor)

Mediánový test

Má stejný účel jako Kruskalův-Wallisův test (obdoba analýzy rozptylu jednoduchého třídění, $H_0$ : všechny výběry pocházejí ze stejného rozdělení) a je součástí balíčku agricolae:

library(agricolae)
Median.test(kvantitativní_proměnná, faktor)

Friedmanův test

Neparametrická obdoba analýzy rozptylu dvojného třídění s jedním pozorováním v každé podtřídě. $H_0$ : distribuční funkce veličin $X_{i1}, \dots, X_{ik}$ jsou totožné.

friedman.test(kvantitativní_proměnná ~ faktor_A | faktor_B, data = soubor)
# jsou-li proměnné samostatné vektory (bez argumentu data):
friedman.test(kvantitativní_proměnná, faktor_A, faktor_B)

Přehled testů

mask-ilu-volba-testu

Situace	Test	R funkce
Jedna střední hodnota vs. zadané číslo, normální data	jednovýběrový t-test	`t.test(x, mu = ..., alternative = ...)`
Rozdíl dvou závislých měření, diference normální	párový t-test	`t.test(x, y, paired = TRUE)`
Shoda rozptylů dvou nezávislých normálních výběrů	F-test	`var.test(x, y)`
Shoda středních hodnot dvou nezávislých normálních výběrů	dvouvýběrový t-test	`t.test(x, y, var.equal = TRUE/FALSE)`
Shoda dat se zadaným typem rozdělení (normální, exponenciální, …)	Kolmogorovův-Smirnovův test	`ks.test(x, "pnorm", mu, sigma)`, `ks.test(x, "pexp", 1/delta)`
Normalita dat	Shapiro-Wilkův test	`shapiro.test(x)`
Medián jednoho výběru vs. konstanta, data nejsou normální	jednovýběrový Wilcoxonův test	`wilcox.test(x, mu = c, alternative = ...)`
Medián diferencí dvou závislých měření, data nejsou normální	párový Wilcoxonův test	`wilcox.test(x, y, paired = TRUE, mu = c)`
Mediány dvou nezávislých výběrů, data nejsou normální	dvouvýběrový Wilcoxonův test	`wilcox.test(x, y)`
Více než dva nezávislé výběry, data nejsou normální	Kruskalův-Wallisův test	`kruskal.test(y ~ faktor, data)`
Více než dva nezávislé výběry, data nejsou normální (alternativa)	mediánový test	`Median.test(y, faktor)` z balíčku `agricolae`
Více než dva závislé výběry (dvojné třídění, jedno pozorování na podtřídu)	Friedmanův test	`friedman.test(y ~ A \| B, data)`

Časté chyby

Nezamítnutí $H_0$ není důkaz, že $H_0$ platí. U kabelů A/B vyšlo $p = 0{,}06932$ — na hladině 5 % se $H_0$ nezamítá, ale hodnota je blízko hranice; správná interpretace je „data rovnost průměrů nevyvracejí“, ne „rovnost je prokázána“.
Před párovým nebo dvouvýběrovým t-testem ověřte normalitu. U realitních odhadců vycházel párový t-test bez varování, ale Shapiro-Wilkův test na diferencích normalitu zamítl — správným testem byl párový Wilcoxonův test.
var.equal v t.test() se volí podle F-testu, ne podle výchozí hodnoty. Výchozí nastavení R je var.equal = FALSE (Welchova varianta); pokud F-test potvrdí shodné rozptyly, je třeba explicitně napsat var.equal = TRUE, jinak se použije jiná statistika a jiné stupně volnosti.
Jednostranná vs. dvoustranná alternativa mění kritický obor i závěr. Volba alternative = "greater"/"less"/"two.sided" musí odpovídat formulaci $H_1$ v zadání, ne být ponechána na výchozí hodnotě "two.sided".
Shapiro-Wilkův test se vyhodnocuje jen přes p-hodnotu, ne porovnáním $W$ s tabulkovou kritickou hodnotou jako u ostatních testů v této kapitole.

Související stránky

Reference

KROPÁČ, J. Statistika A. 4. vyd. Brno: Fakulta podnikatelská VUT, 2011.